Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29341 / 18879
↖ ↑ ↗
← N 60.416564°
W 18.825073°		 ← 301.54 m → N 60.416564°
W 18.819580°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
N 60.413853°
W 18.825073°		 ← 301.57 m →
90 930 m²		 N 60.413853°
W 18.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447715759277344 y=0.288078308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447715759277344 × 216)
    floor (0.447715759277344 × 65536)
    floor (29341.5)     		tx = 29341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288078308105469 × 216)
    floor (0.288078308105469 × 65536)
    floor (18879.5)     		ty = 18879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29341 / 18879 ti = "16/29341/18879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29341/18879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29341 ÷ 216
    29341 ÷ 65536     		x = 0.447708129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18879 ÷ 216
    18879 ÷ 65536     		y = 0.288070678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447708129882812 × 2 - 1) × π
    -0.104583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32855951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288070678710938 × 2 - 1) × π
    0.423858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33159119764592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32855951} λ = -0.32855951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33159119764592))-π/2
    2×atan(3.78706456407672)-π/2
    2×1.31263214902993-π/2
    2.62526429805986-1.57079632675     		φ = 1.05446797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32855951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.825073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05446797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.416564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29341 KachelY 18879 -0.32855951 1.05446797 -18.825073 60.416564
    Oben rechts KachelX + 1 29342 KachelY 18879 -0.32846364 1.05446797 -18.819580 60.416564
    Unten links KachelX 29341 KachelY + 1 18880 -0.32855951 1.05442064 -18.825073 60.413853
    Unten rechts KachelX + 1 29342 KachelY + 1 18880 -0.32846364 1.05442064 -18.819580 60.413853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05446797-1.05442064) × R
    4.73299999999011e-05 × 6371000     		dl = 301.53942999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05446797-1.05442064) × R
    4.73299999999011e-05 × 6371000     		dr = 301.53942999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32855951--0.32846364) × cos(1.05446797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493690473400707 × 6371000     		do = 301.540103318655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32855951--0.32846364) × cos(1.05442064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493731632799719 × 6371000     		du = 301.565242976193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05446797)-sin(1.05442064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493690473400707-0.493731632799719)×R²
    abs(-0.32846364--0.32855951)×4.11593990123915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11593990123915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11593990123915e-05×40589641000000     		ar = 90930.0211926108m²