Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29340 / 18877
↖ ↑ ↗
← N 60.421988°
W 18.830566°		 ← 301.49 m → N 60.421988°
W 18.825073°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
N 60.419276°
W 18.830566°		 ← 301.51 m →
90 915 m²		 N 60.419276°
W 18.825073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447700500488281 y=0.288047790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447700500488281 × 216)
    floor (0.447700500488281 × 65536)
    floor (29340.5)     		tx = 29340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288047790527344 × 216)
    floor (0.288047790527344 × 65536)
    floor (18877.5)     		ty = 18877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29340 / 18877 ti = "16/29340/18877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29340/18877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29340 ÷ 216
    29340 ÷ 65536     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18877 ÷ 216
    18877 ÷ 65536     		y = 0.288040161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288040161132812 × 2 - 1) × π
    0.423919677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3317829452444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3317829452444))-π/2
    2×atan(3.78779079423639)-π/2
    2×1.31267947706498-π/2
    2.62535895412996-1.57079632675     		φ = 1.05456263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05456263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.421988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29340 KachelY 18877 -0.32865538 1.05456263 -18.830566 60.421988
    Oben rechts KachelX + 1 29341 KachelY 18877 -0.32855951 1.05456263 -18.825073 60.421988
    Unten links KachelX 29340 KachelY + 1 18878 -0.32865538 1.05451530 -18.830566 60.419276
    Unten rechts KachelX + 1 29341 KachelY + 1 18878 -0.32855951 1.05451530 -18.825073 60.419276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05456263-1.05451530) × R
    4.73299999999011e-05 × 6371000     		dl = 301.53942999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05456263-1.05451530) × R
    4.73299999999011e-05 × 6371000     		dr = 301.53942999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32855951) × cos(1.05456263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493608151284983 × 6371000     		do = 301.489821977171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32855951) × cos(1.05451530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493649312895764 × 6371000     		du = 301.514962985629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05456263)-sin(1.05451530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493608151284983-0.493649312895764)×R²
    abs(-0.32855951--0.32865538)×4.11616107807711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11616107807711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11616107807711e-05×40589641000000     		ar = 90914.8595891006m²