Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29340 / 15012
↖ ↑ ↗
← N 69.341588°
W 18.830566°		 ← 215.48 m → N 69.341588°
W 18.825073°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
N 69.339650°
W 18.830566°		 ← 215.50 m →
46 432 m²		 N 69.339650°
W 18.825073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447700500488281 y=0.229072570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447700500488281 × 216)
    floor (0.447700500488281 × 65536)
    floor (29340.5)     		tx = 29340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229072570800781 × 216)
    floor (0.229072570800781 × 65536)
    floor (15012.5)     		ty = 15012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29340 / 15012 ti = "16/29340/15012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29340/15012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29340 ÷ 216
    29340 ÷ 65536     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15012 ÷ 216
    15012 ÷ 65536     		y = 0.22906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22906494140625 × 2 - 1) × π
    0.5418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70233517930743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70233517930743))-π/2
    2×atan(5.4867449769189)-π/2
    2×1.39051767445778-π/2
    2.78103534891557-1.57079632675     		φ = 1.21023902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21023902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.341588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29340 KachelY 15012 -0.32865538 1.21023902 -18.830566 69.341588
    Oben rechts KachelX + 1 29341 KachelY 15012 -0.32855951 1.21023902 -18.825073 69.341588
    Unten links KachelX 29340 KachelY + 1 15013 -0.32865538 1.21020520 -18.830566 69.339650
    Unten rechts KachelX + 1 29341 KachelY + 1 15013 -0.32855951 1.21020520 -18.825073 69.339650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21023902-1.21020520) × R
    3.38199999998512e-05 × 6371000     		dl = 215.467219999052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21023902-1.21020520) × R
    3.38199999998512e-05 × 6371000     		dr = 215.467219999052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32855951) × cos(1.21023902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35279576020067 × 6371000     		do = 215.483335638417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32855951) × cos(1.21020520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352827405384858 × 6371000     		du = 215.502664129899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21023902)-sin(1.21020520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35279576020067-0.352827405384858)×R²
    abs(-0.32855951--0.32865538)×3.16451841874676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16451841874676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16451841874676e-05×40589641000000     		ar = 46431.6776189834m²