Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29338 / 22738
↖ ↑ ↗
← N 48.158757°
W 18.841553°		 ← 407.44 m → N 48.158757°
W 18.836060°		 →
↑
407.49 m
↓
↑
407.49 m
↓
N 48.155093°
W 18.841553°		 ← 407.47 m →
166 032 m²		 N 48.155093°
W 18.836060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447669982910156 y=0.346961975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447669982910156 × 216)
    floor (0.447669982910156 × 65536)
    floor (29338.5)     		tx = 29338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346961975097656 × 216)
    floor (0.346961975097656 × 65536)
    floor (22738.5)     		ty = 22738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29338 / 22738 ti = "16/29338/22738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29338/22738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29338 ÷ 216
    29338 ÷ 65536     		x = 0.447662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22738 ÷ 216
    22738 ÷ 65536     		y = 0.346954345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.10467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32884713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346954345703125 × 2 - 1) × π
    0.30609130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961614206378326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32884713} λ = -0.32884713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961614206378326))-π/2
    2×atan(2.61591569495977)-π/2
    2×1.20566260270508-π/2
    2.41132520541016-1.57079632675     		φ = 0.84052888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32884713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.841553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84052888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.158757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29338 KachelY 22738 -0.32884713 0.84052888 -18.841553 48.158757
    Oben rechts KachelX + 1 29339 KachelY 22738 -0.32875126 0.84052888 -18.836060 48.158757
    Unten links KachelX 29338 KachelY + 1 22739 -0.32884713 0.84046492 -18.841553 48.155093
    Unten rechts KachelX + 1 29339 KachelY + 1 22739 -0.32875126 0.84046492 -18.836060 48.155093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84052888-0.84046492) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dl = 407.489160000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84052888-0.84046492) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dr = 407.489160000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32884713--0.32875126) × cos(0.84052888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667068905657013 × 6371000     		do = 407.437529322579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32884713--0.32875126) × cos(0.84046492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667116554238197 × 6371000     		du = 407.466632493224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84052888)-sin(0.84046492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667068905657013-0.667116554238197)×R²
    abs(-0.32875126--0.32884713)×4.764858118389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.764858118389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.764858118389e-05×40589641000000     		ar = 166032.306246379m²