Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29338 / 19611
↖ ↑ ↗
← N 58.370037°
W 18.841553°		 ← 320.32 m → N 58.370037°
W 18.836060°		 →
↑
320.33 m
↓
↑
320.33 m
↓
N 58.367156°
W 18.841553°		 ← 320.34 m →
102 612 m²		 N 58.367156°
W 18.836060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447669982910156 y=0.299247741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447669982910156 × 216)
    floor (0.447669982910156 × 65536)
    floor (29338.5)     		tx = 29338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299247741699219 × 216)
    floor (0.299247741699219 × 65536)
    floor (19611.5)     		ty = 19611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29338 / 19611 ti = "16/29338/19611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29338/19611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29338 ÷ 216
    29338 ÷ 65536     		x = 0.447662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19611 ÷ 216
    19611 ÷ 65536     		y = 0.299240112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.10467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32884713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299240112304688 × 2 - 1) × π
    0.401519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26141157660216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32884713} λ = -0.32884713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26141157660216))-π/2
    2×atan(3.53040140378955)-π/2
    2×1.29477283053602-π/2
    2.58954566107203-1.57079632675     		φ = 1.01874933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32884713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.841553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01874933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.370037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29338 KachelY 19611 -0.32884713 1.01874933 -18.841553 58.370037
    Oben rechts KachelX + 1 29339 KachelY 19611 -0.32875126 1.01874933 -18.836060 58.370037
    Unten links KachelX 29338 KachelY + 1 19612 -0.32884713 1.01869905 -18.841553 58.367156
    Unten rechts KachelX + 1 29339 KachelY + 1 19612 -0.32875126 1.01869905 -18.836060 58.367156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01874933-1.01869905) × R
    5.02799999999581e-05 × 6371000     		dl = 320.333879999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01874933-1.01869905) × R
    5.02799999999581e-05 × 6371000     		dr = 320.333879999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32884713--0.32875126) × cos(1.01874933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524431247595603 × 6371000     		do = 320.316192237229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32884713--0.32875126) × cos(1.01869905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524474057979347 × 6371000     		du = 320.342340296049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01874933)-sin(1.01869905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524431247595603-0.524474057979347)×R²
    abs(-0.32875126--0.32884713)×4.28103837436522e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28103837436522e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28103837436522e-05×40589641000000     		ar = 102612.316762413m²