Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29337 / 22689
↖ ↑ ↗
← N 48.337995°
W 18.847046°		 ← 406.05 m → N 48.337995°
W 18.841553°		 →
↑
406.02 m
↓
↑
406.02 m
↓
N 48.334343°
W 18.847046°		 ← 406.08 m →
164 874 m²		 N 48.334343°
W 18.841553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447654724121094 y=0.346214294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447654724121094 × 216)
    floor (0.447654724121094 × 65536)
    floor (29337.5)     		tx = 29337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346214294433594 × 216)
    floor (0.346214294433594 × 65536)
    floor (22689.5)     		ty = 22689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29337 / 22689 ti = "16/29337/22689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29337/22689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29337 ÷ 216
    29337 ÷ 65536     		x = 0.447647094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22689 ÷ 216
    22689 ÷ 65536     		y = 0.346206665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447647094726562 × 2 - 1) × π
    -0.104705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32894301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346206665039062 × 2 - 1) × π
    0.307586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966312022541092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32894301} λ = -0.32894301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966312022541092))-π/2
    2×atan(2.62823369719266)-π/2
    2×1.20722674496133-π/2
    2.41445348992267-1.57079632675     		φ = 0.84365716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32894301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.847046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84365716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.337995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29337 KachelY 22689 -0.32894301 0.84365716 -18.847046 48.337995
    Oben rechts KachelX + 1 29338 KachelY 22689 -0.32884713 0.84365716 -18.841553 48.337995
    Unten links KachelX 29337 KachelY + 1 22690 -0.32894301 0.84359343 -18.847046 48.334343
    Unten rechts KachelX + 1 29338 KachelY + 1 22690 -0.32884713 0.84359343 -18.841553 48.334343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84365716-0.84359343) × R
    6.37300000000396e-05 × 6371000     		dl = 406.023830000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84365716-0.84359343) × R
    6.37300000000396e-05 × 6371000     		dr = 406.023830000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32894301--0.32884713) × cos(0.84365716) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664735089286876 × 6371000     		do = 406.054413098789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32894301--0.32884713) × cos(0.84359343) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664782699291359 × 6371000     		du = 406.08349574049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84365716)-sin(0.84359343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664735089286876-0.664782699291359)×R²
    abs(-0.32884713--0.32894301)×4.76100044829453e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76100044829453e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76100044829453e-05×40589641000000     		ar = 164873.672173447m²