Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29337 / 19614
↖ ↑ ↗
← N 58.361394°
W 18.847046°		 ← 320.43 m → N 58.361394°
W 18.841553°		 →
↑
320.46 m
↓
↑
320.46 m
↓
N 58.358512°
W 18.847046°		 ← 320.45 m →
102 689 m²		 N 58.358512°
W 18.841553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447654724121094 y=0.299293518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447654724121094 × 216)
    floor (0.447654724121094 × 65536)
    floor (29337.5)     		tx = 29337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299293518066406 × 216)
    floor (0.299293518066406 × 65536)
    floor (19614.5)     		ty = 19614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29337 / 19614 ti = "16/29337/19614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29337/19614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29337 ÷ 216
    29337 ÷ 65536     		x = 0.447647094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19614 ÷ 216
    19614 ÷ 65536     		y = 0.299285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447647094726562 × 2 - 1) × π
    -0.104705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32894301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299285888671875 × 2 - 1) × π
    0.40142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26112395520444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32894301} λ = -0.32894301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26112395520444))-π/2
    2×atan(3.52938613081739)-π/2
    2×1.29469740247697-π/2
    2.58939480495393-1.57079632675     		φ = 1.01859848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32894301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.847046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01859848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.361394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29337 KachelY 19614 -0.32894301 1.01859848 -18.847046 58.361394
    Oben rechts KachelX + 1 29338 KachelY 19614 -0.32884713 1.01859848 -18.841553 58.361394
    Unten links KachelX 29337 KachelY + 1 19615 -0.32894301 1.01854818 -18.847046 58.358512
    Unten rechts KachelX + 1 29338 KachelY + 1 19615 -0.32884713 1.01854818 -18.841553 58.358512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01859848-1.01854818) × R
    5.03000000000586e-05 × 6371000     		dl = 320.461300000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01859848-1.01854818) × R
    5.03000000000586e-05 × 6371000     		dr = 320.461300000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32894301--0.32884713) × cos(1.01859848) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.524559683282729 × 6371000     		do = 320.428058881561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32894301--0.32884713) × cos(1.01854818) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.524602506715095 × 6371000     		du = 320.454217638601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01859848)-sin(1.01854818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524559683282729-0.524602506715095)×R²
    abs(-0.32884713--0.32894301)×4.28234323667231e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28234323667231e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28234323667231e-05×40589641000000     		ar = 102688.983762061m²