Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29337 / 19612
N 58.367156°
W 18.847046°
← 320.38 m → N 58.367156°
W 18.841553°

320.33 m

320.33 m
N 58.364275°
W 18.847046°
← 320.40 m →
102 631 m²
N 58.364275°
W 18.841553°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447654724121094 y=0.299263000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447654724121094 × 216)
    floor (0.447654724121094 × 65536)
    floor (29337.5)
    tx = 29337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299263000488281 × 216)
    floor (0.299263000488281 × 65536)
    floor (19612.5)
    ty = 19612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29337 / 19612 ti = "16/29337/19612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29337/19612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29337 ÷ 216
    29337 ÷ 65536
    x = 0.447647094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19612 ÷ 216
    19612 ÷ 65536
    y = 0.29925537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.447647094726562 × 2 - 1) × π
    -0.104705810546875 × 3.1415926535
    Λ = -0.32894301
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.29925537109375 × 2 - 1) × π
    0.4014892578125 × 3.1415926535
    Φ = 1.26131570280292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32894301} λ = -0.32894301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26131570280292))-π/2
    2×atan(3.53006294701895)-π/2
    2×1.294747689902-π/2
    2.589495379804-1.57079632675
    φ = 1.01869905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32894301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.847046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01869905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.367156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29337 KachelY 19612 -0.32894301 1.01869905 -18.847046 58.367156
    Oben rechts KachelX + 1 29338 KachelY 19612 -0.32884713 1.01869905 -18.841553 58.367156
    Unten links KachelX 29337 KachelY + 1 19613 -0.32894301 1.01864877 -18.847046 58.364275
    Unten rechts KachelX + 1 29338 KachelY + 1 19613 -0.32884713 1.01864877 -18.841553 58.364275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.01869905-1.01864877) × R
    5.02799999999581e-05 × 6371000
    dl = 320.333879999733m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.01869905-1.01864877) × R
    5.02799999999581e-05 × 6371000
    dr = 320.333879999733m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32894301--0.32884713) × cos(1.01869905) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.524474057979347 × 6371000
    do = 320.375754538265m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32894301--0.32884713) × cos(1.01864877) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.524516867037179 × 6371000
    du = 320.4019045146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.01869905)-sin(1.01864877))×
    abs(λ12)×abs(0.524474057979347-0.524516867037179)×
    abs(-0.32884713--0.32894301)×4.28090578322715e-05×
    9.58799999999926e-05×4.28090578322715e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28090578322715e-05×40589641000000
    ar = 102631.396892508m²