Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29337 / 14950
↖ ↑ ↗
← N 69.461408°
W 18.847046°		 ← 214.31 m → N 69.461408°
W 18.841553°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
N 69.459481°
W 18.847046°		 ← 214.33 m →
45 933 m²		 N 69.459481°
W 18.841553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447654724121094 y=0.228126525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447654724121094 × 216)
    floor (0.447654724121094 × 65536)
    floor (29337.5)     		tx = 29337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228126525878906 × 216)
    floor (0.228126525878906 × 65536)
    floor (14950.5)     		ty = 14950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29337 / 14950 ti = "16/29337/14950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29337/14950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29337 ÷ 216
    29337 ÷ 65536     		x = 0.447647094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14950 ÷ 216
    14950 ÷ 65536     		y = 0.228118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447647094726562 × 2 - 1) × π
    -0.104705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32894301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228118896484375 × 2 - 1) × π
    0.54376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70827935486032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32894301} λ = -0.32894301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70827935486032))-π/2
    2×atan(5.51945627681395)-π/2
    2×1.3915633030814-π/2
    2.7831266061628-1.57079632675     		φ = 1.21233028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32894301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.847046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21233028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.461408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29337 KachelY 14950 -0.32894301 1.21233028 -18.847046 69.461408
    Oben rechts KachelX + 1 29338 KachelY 14950 -0.32884713 1.21233028 -18.841553 69.461408
    Unten links KachelX 29337 KachelY + 1 14951 -0.32894301 1.21229664 -18.847046 69.459481
    Unten rechts KachelX + 1 29338 KachelY + 1 14951 -0.32884713 1.21229664 -18.841553 69.459481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21233028-1.21229664) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21233028-1.21229664) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32894301--0.32884713) × cos(1.21233028) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.350838197453025 × 6371000     		do = 214.310032154696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32894301--0.32884713) × cos(1.21229664) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.350869698964727 × 6371000     		du = 214.329274899742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21233028)-sin(1.21229664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350838197453025-0.350869698964727)×R²
    abs(-0.32884713--0.32894301)×3.1501511702392e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1501511702392e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1501511702392e-05×40589641000000     		ar = 45933.0824490434m²