Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29336 / 22691
↖ ↑ ↗
← N 48.330691°
W 18.852539°		 ← 406.07 m → N 48.330691°
W 18.847046°		 →
↑
406.09 m
↓
↑
406.09 m
↓
N 48.327039°
W 18.852539°		 ← 406.10 m →
164 906 m²		 N 48.327039°
W 18.847046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447639465332031 y=0.346244812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447639465332031 × 216)
    floor (0.447639465332031 × 65536)
    floor (29336.5)     		tx = 29336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346244812011719 × 216)
    floor (0.346244812011719 × 65536)
    floor (22691.5)     		ty = 22691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29336 / 22691 ti = "16/29336/22691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29336/22691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29336 ÷ 216
    29336 ÷ 65536     		x = 0.4476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22691 ÷ 216
    22691 ÷ 65536     		y = 0.346237182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32903888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346237182617188 × 2 - 1) × π
    0.307525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.966120274942612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32903888} λ = -0.32903888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966120274942612))-π/2
    2×atan(2.62772978800621)-π/2
    2×1.20716300971828-π/2
    2.41432601943657-1.57079632675     		φ = 0.84352969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32903888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.852539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84352969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.330691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29336 KachelY 22691 -0.32903888 0.84352969 -18.852539 48.330691
    Oben rechts KachelX + 1 29337 KachelY 22691 -0.32894301 0.84352969 -18.847046 48.330691
    Unten links KachelX 29336 KachelY + 1 22692 -0.32903888 0.84346595 -18.852539 48.327039
    Unten rechts KachelX + 1 29337 KachelY + 1 22692 -0.32894301 0.84346595 -18.847046 48.327039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84352969-0.84346595) × R
    6.37399999999788e-05 × 6371000     		dl = 406.087539999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84352969-0.84346595) × R
    6.37399999999788e-05 × 6371000     		dr = 406.087539999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32903888--0.32894301) × cos(0.84352969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664830314065763 × 6371000     		do = 406.070224956618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32903888--0.32894301) × cos(0.84346595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664877926139102 × 6371000     		du = 406.099305828718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84352969)-sin(0.84346595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664830314065763-0.664877926139102)×R²
    abs(-0.32894301--0.32903888)×4.76120733392538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76120733392538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76120733392538e-05×40589641000000     		ar = 164905.963465451m²