Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29335 / 40887
↖ ↑ ↗
← S 40.676472°
W 18.858032°		 ← 463.22 m → S 40.676472°
W 18.852539°		 →
↑
463.24 m
↓
↑
463.24 m
↓
S 40.680638°
W 18.858032°		 ← 463.19 m →
214 574 m²		 S 40.680638°
W 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447624206542969 y=0.623893737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447624206542969 × 216)
    floor (0.447624206542969 × 65536)
    floor (29335.5)     		tx = 29335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623893737792969 × 216)
    floor (0.623893737792969 × 65536)
    floor (40887.5)     		ty = 40887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29335 / 40887 ti = "16/29335/40887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29335/40887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29335 ÷ 216
    29335 ÷ 65536     		x = 0.447616577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40887 ÷ 216
    40887 ÷ 65536     		y = 0.623886108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447616577148438 × 2 - 1) × π
    -0.104766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32913475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623886108398438 × 2 - 1) × π
    -0.247772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.778399376030472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32913475} λ = -0.32913475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778399376030472))-π/2
    2×atan(0.459140334485559)-π/2
    2×0.430428980036869-π/2
    0.860857960073738-1.57079632675     		φ = -0.70993837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32913475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.858032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70993837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.676472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29335 KachelY 40887 -0.32913475 -0.70993837 -18.858032 -40.676472
    Oben rechts KachelX + 1 29336 KachelY 40887 -0.32903888 -0.70993837 -18.852539 -40.676472
    Unten links KachelX 29335 KachelY + 1 40888 -0.32913475 -0.71001108 -18.858032 -40.680638
    Unten rechts KachelX + 1 29336 KachelY + 1 40888 -0.32903888 -0.71001108 -18.852539 -40.680638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70993837--0.71001108) × R
    7.27099999999758e-05 × 6371000     		dl = 463.235409999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70993837--0.71001108) × R
    7.27099999999758e-05 × 6371000     		dr = 463.235409999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32913475--0.32903888) × cos(-0.70993837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758402047065564 × 6371000     		do = 463.222695090601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32913475--0.32903888) × cos(-0.71001108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758354653625775 × 6371000     		du = 463.193747757199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70993837)-sin(-0.71001108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758402047065564-0.758354653625775)×R²
    abs(-0.32903888--0.32913475)×4.73934397894338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73934397894338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73934397894338e-05×40589641000000     		ar = 214574.450460935m²