Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29335 / 14948
↖ ↑ ↗
← N 69.465263°
W 18.858032°		 ← 214.25 m → N 69.465263°
W 18.852539°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
N 69.463335°
W 18.858032°		 ← 214.27 m →
45 920 m²		 N 69.463335°
W 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447624206542969 y=0.228096008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447624206542969 × 216)
    floor (0.447624206542969 × 65536)
    floor (29335.5)     		tx = 29335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228096008300781 × 216)
    floor (0.228096008300781 × 65536)
    floor (14948.5)     		ty = 14948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29335 / 14948 ti = "16/29335/14948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29335/14948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29335 ÷ 216
    29335 ÷ 65536     		x = 0.447616577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14948 ÷ 216
    14948 ÷ 65536     		y = 0.22808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447616577148438 × 2 - 1) × π
    -0.104766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32913475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22808837890625 × 2 - 1) × π
    0.5438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7084711024588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32913475} λ = -0.32913475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7084711024588))-π/2
    2×atan(5.52051472077375)-π/2
    2×1.39159693625267-π/2
    2.78319387250535-1.57079632675     		φ = 1.21239755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32913475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.858032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21239755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.465263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29335 KachelY 14948 -0.32913475 1.21239755 -18.858032 69.465263
    Oben rechts KachelX + 1 29336 KachelY 14948 -0.32903888 1.21239755 -18.852539 69.465263
    Unten links KachelX 29335 KachelY + 1 14949 -0.32913475 1.21236391 -18.858032 69.463335
    Unten rechts KachelX + 1 29336 KachelY + 1 14949 -0.32903888 1.21236391 -18.852539 69.463335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21239755-1.21236391) × R
    3.36399999998349e-05 × 6371000     		dl = 214.320439998948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21239755-1.21236391) × R
    3.36399999998349e-05 × 6371000     		dr = 214.320439998948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32913475--0.32903888) × cos(1.21239755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350775202603175 × 6371000     		do = 214.249203769287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32913475--0.32903888) × cos(1.21236391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350806704908775 × 6371000     		du = 214.268444992274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21239755)-sin(1.21236391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350775202603175-0.350806704908775)×R²
    abs(-0.32903888--0.32913475)×3.15023056003394e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15023056003394e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15023056003394e-05×40589641000000     		ar = 45920.0455190697m²