Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29334 / 22698
↖ ↑ ↗
← N 48.305121°
W 18.863526°		 ← 406.32 m → N 48.305121°
W 18.858032°		 →
↑
406.28 m
↓
↑
406.28 m
↓
N 48.301467°
W 18.863526°		 ← 406.35 m →
165 084 m²		 N 48.301467°
W 18.858032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447608947753906 y=0.346351623535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447608947753906 × 216)
    floor (0.447608947753906 × 65536)
    floor (29334.5)     		tx = 29334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346351623535156 × 216)
    floor (0.346351623535156 × 65536)
    floor (22698.5)     		ty = 22698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29334 / 22698 ti = "16/29334/22698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29334/22698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29334 ÷ 216
    29334 ÷ 65536     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22698 ÷ 216
    22698 ÷ 65536     		y = 0.346343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346343994140625 × 2 - 1) × π
    0.30731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.965449158347931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965449158347931))-π/2
    2×atan(2.62596686656823)-π/2
    2×1.20693986446919-π/2
    2.41387972893838-1.57079632675     		φ = 0.84308340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84308340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.305121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29334 KachelY 22698 -0.32923063 0.84308340 -18.863526 48.305121
    Oben rechts KachelX + 1 29335 KachelY 22698 -0.32913475 0.84308340 -18.858032 48.305121
    Unten links KachelX 29334 KachelY + 1 22699 -0.32923063 0.84301963 -18.863526 48.301467
    Unten rechts KachelX + 1 29335 KachelY + 1 22699 -0.32913475 0.84301963 -18.858032 48.301467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84308340-0.84301963) × R
    6.37700000000185e-05 × 6371000     		dl = 406.278670000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84308340-0.84301963) × R
    6.37700000000185e-05 × 6371000     		dr = 406.278670000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(0.84308340) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.665163623982698 × 6371000     		do = 406.316184152198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(0.84301963) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.665211239538164 × 6371000     		du = 406.345270184726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84308340)-sin(0.84301963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665163623982698-0.665211239538164)×R²
    abs(-0.32913475--0.32923063)×4.76155554659519e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76155554659519e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76155554659519e-05×40589641000000     		ar = 165083.50747018m²