Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29334 / 17819
↖ ↑ ↗
← N 63.166756°
W 18.863526°		 ← 275.74 m → N 63.166756°
W 18.858032°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 63.164276°
W 18.863526°		 ← 275.76 m →
76 034 m²		 N 63.164276°
W 18.858032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447608947753906 y=0.271903991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447608947753906 × 216)
    floor (0.447608947753906 × 65536)
    floor (29334.5)     		tx = 29334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271903991699219 × 216)
    floor (0.271903991699219 × 65536)
    floor (17819.5)     		ty = 17819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29334 / 17819 ti = "16/29334/17819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29334/17819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29334 ÷ 216
    29334 ÷ 65536     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17819 ÷ 216
    17819 ÷ 65536     		y = 0.271896362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271896362304688 × 2 - 1) × π
    0.456207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43321742484044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43321742484044))-π/2
    2×atan(4.19216549429521)-π/2
    2×1.33663209657843-π/2
    2.67326419315686-1.57079632675     		φ = 1.10246787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10246787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.166756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29334 KachelY 17819 -0.32923063 1.10246787 -18.863526 63.166756
    Oben rechts KachelX + 1 29335 KachelY 17819 -0.32913475 1.10246787 -18.858032 63.166756
    Unten links KachelX 29334 KachelY + 1 17820 -0.32923063 1.10242459 -18.863526 63.164276
    Unten rechts KachelX + 1 29335 KachelY + 1 17820 -0.32913475 1.10242459 -18.858032 63.164276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10246787-1.10242459) × R
    4.32799999998679e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10246787-1.10242459) × R
    4.32799999998679e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(1.10246787) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.451395358464215 × 6371000     		do = 275.735522783135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(1.10242459) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.451433977826808 × 6371000     		du = 275.759113477931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10246787)-sin(1.10242459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451395358464215-0.451433977826808)×R²
    abs(-0.32913475--0.32923063)×3.86193625929176e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.86193625929176e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.86193625929176e-05×40589641000000     		ar = 76033.7051813576m²