Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29334 / 15008
↖ ↑ ↗
← N 69.349338°
W 18.863526°		 ← 215.43 m → N 69.349338°
W 18.858032°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
N 69.347401°
W 18.863526°		 ← 215.45 m →
46 406 m²		 N 69.347401°
W 18.858032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447608947753906 y=0.229011535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447608947753906 × 216)
    floor (0.447608947753906 × 65536)
    floor (29334.5)     		tx = 29334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229011535644531 × 216)
    floor (0.229011535644531 × 65536)
    floor (15008.5)     		ty = 15008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29334 / 15008 ti = "16/29334/15008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29334/15008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29334 ÷ 216
    29334 ÷ 65536     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15008 ÷ 216
    15008 ÷ 65536     		y = 0.22900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22900390625 × 2 - 1) × π
    0.5419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70271867450439))-π/2
    2×atan(5.48884952077994)-π/2
    2×1.39058531006118-π/2
    2.78117062012236-1.57079632675     		φ = 1.21037429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21037429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.349338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29334 KachelY 15008 -0.32923063 1.21037429 -18.863526 69.349338
    Oben rechts KachelX + 1 29335 KachelY 15008 -0.32913475 1.21037429 -18.858032 69.349338
    Unten links KachelX 29334 KachelY + 1 15009 -0.32923063 1.21034048 -18.863526 69.347401
    Unten rechts KachelX + 1 29335 KachelY + 1 15009 -0.32913475 1.21034048 -18.858032 69.347401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21037429-1.21034048) × R
    3.3810000000134e-05 × 6371000     		dl = 215.403510000854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21037429-1.21034048) × R
    3.3810000000134e-05 × 6371000     		dr = 215.403510000854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(1.21037429) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.352669184786511 × 6371000     		do = 215.428493477342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(1.21034048) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.352700822227102 × 6371000     		du = 215.44781925475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21037429)-sin(1.21034048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352669184786511-0.352700822227102)×R²
    abs(-0.32913475--0.32923063)×3.16374405902597e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.16374405902597e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.16374405902597e-05×40589641000000     		ar = 46406.135073849m²