Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29334 / 15005
↖ ↑ ↗
← N 69.355149°
W 18.863526°		 ← 215.37 m → N 69.355149°
W 18.858032°		 →
↑
215.34 m
↓
↑
215.34 m
↓
N 69.353213°
W 18.863526°		 ← 215.39 m →
46 380 m²		 N 69.353213°
W 18.858032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447608947753906 y=0.228965759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447608947753906 × 216)
    floor (0.447608947753906 × 65536)
    floor (29334.5)     		tx = 29334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228965759277344 × 216)
    floor (0.228965759277344 × 65536)
    floor (15005.5)     		ty = 15005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29334 / 15005 ti = "16/29334/15005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29334/15005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29334 ÷ 216
    29334 ÷ 65536     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15005 ÷ 216
    15005 ÷ 65536     		y = 0.228958129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228958129882812 × 2 - 1) × π
    0.542083740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70300629590211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70300629590211))-π/2
    2×atan(5.49042845840822)-π/2
    2×1.39063602083809-π/2
    2.78127204167618-1.57079632675     		φ = 1.21047571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21047571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.355149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29334 KachelY 15005 -0.32923063 1.21047571 -18.863526 69.355149
    Oben rechts KachelX + 1 29335 KachelY 15005 -0.32913475 1.21047571 -18.858032 69.355149
    Unten links KachelX 29334 KachelY + 1 15006 -0.32923063 1.21044191 -18.863526 69.353213
    Unten rechts KachelX + 1 29335 KachelY + 1 15006 -0.32913475 1.21044191 -18.858032 69.353213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21047571-1.21044191) × R
    3.38000000001948e-05 × 6371000     		dl = 215.339800001241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21047571-1.21044191) × R
    3.38000000001948e-05 × 6371000     		dr = 215.339800001241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(1.21047571) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.352574279403873 × 6371000     		do = 215.370520383898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(1.21044191) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.352605908695942 × 6371000     		du = 215.389841183769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21047571)-sin(1.21044191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352574279403873-0.352605908695942)×R²
    abs(-0.32913475--0.32923063)×3.16292920689576e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.16292920689576e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.16292920689576e-05×40589641000000     		ar = 46379.9250584429m²