Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29331 / 19074
↖ ↑ ↗
← N 59.883425°
W 18.880005°		 ← 306.50 m → N 59.883425°
W 18.874511°		 →
↑
306.51 m
↓
↑
306.51 m
↓
N 59.880668°
W 18.880005°		 ← 306.53 m →
93 949 m²		 N 59.880668°
W 18.874511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447563171386719 y=0.291053771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447563171386719 × 216)
    floor (0.447563171386719 × 65536)
    floor (29331.5)     		tx = 29331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291053771972656 × 216)
    floor (0.291053771972656 × 65536)
    floor (19074.5)     		ty = 19074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29331 / 19074 ti = "16/29331/19074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29331/19074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29331 ÷ 216
    29331 ÷ 65536     		x = 0.447555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19074 ÷ 216
    19074 ÷ 65536     		y = 0.291046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447555541992188 × 2 - 1) × π
    -0.104888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32951825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291046142578125 × 2 - 1) × π
    0.41790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3128958067941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32951825} λ = -0.32951825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3128958067941))-π/2
    2×atan(3.71692162966158)-π/2
    2×1.30797962882814-π/2
    2.61595925765627-1.57079632675     		φ = 1.04516293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32951825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.880005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04516293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.883425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29331 KachelY 19074 -0.32951825 1.04516293 -18.880005 59.883425
    Oben rechts KachelX + 1 29332 KachelY 19074 -0.32942237 1.04516293 -18.874511 59.883425
    Unten links KachelX 29331 KachelY + 1 19075 -0.32951825 1.04511482 -18.880005 59.880668
    Unten rechts KachelX + 1 29332 KachelY + 1 19075 -0.32942237 1.04511482 -18.874511 59.880668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04516293-1.04511482) × R
    4.81100000000456e-05 × 6371000     		dl = 306.508810000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04516293-1.04511482) × R
    4.81100000000456e-05 × 6371000     		dr = 306.508810000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32951825--0.32942237) × cos(1.04516293) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.501760997507126 × 6371000     		do = 306.50144793348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32951825--0.32942237) × cos(1.04511482) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.501802612379587 × 6371000     		du = 306.526868439913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04516293)-sin(1.04511482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501760997507126-0.501802612379587)×R²
    abs(-0.32942237--0.32951825)×4.16148724610155e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.16148724610155e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16148724610155e-05×40589641000000     		ar = 93949.2898919689m²