Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29331 / 14967
↖ ↑ ↗
← N 69.428621°
W 18.880005°		 ← 214.64 m → N 69.428621°
W 18.874511°		 →
↑
214.64 m
↓
↑
214.64 m
↓
N 69.426691°
W 18.880005°		 ← 214.66 m →
46 072 m²		 N 69.426691°
W 18.874511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447563171386719 y=0.228385925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447563171386719 × 216)
    floor (0.447563171386719 × 65536)
    floor (29331.5)     		tx = 29331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228385925292969 × 216)
    floor (0.228385925292969 × 65536)
    floor (14967.5)     		ty = 14967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29331 / 14967 ti = "16/29331/14967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29331/14967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29331 ÷ 216
    29331 ÷ 65536     		x = 0.447555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14967 ÷ 216
    14967 ÷ 65536     		y = 0.228378295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447555541992188 × 2 - 1) × π
    -0.104888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32951825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228378295898438 × 2 - 1) × π
    0.543243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70664950027324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32951825} λ = -0.32951825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70664950027324))-π/2
    2×atan(5.51046769271529)-π/2
    2×1.39127717717884-π/2
    2.78255435435768-1.57079632675     		φ = 1.21175803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32951825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.880005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21175803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.428621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29331 KachelY 14967 -0.32951825 1.21175803 -18.880005 69.428621
    Oben rechts KachelX + 1 29332 KachelY 14967 -0.32942237 1.21175803 -18.874511 69.428621
    Unten links KachelX 29331 KachelY + 1 14968 -0.32951825 1.21172434 -18.880005 69.426691
    Unten rechts KachelX + 1 29332 KachelY + 1 14968 -0.32942237 1.21172434 -18.874511 69.426691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21175803-1.21172434) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dl = 214.638989999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21175803-1.21172434) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dr = 214.638989999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32951825--0.32942237) × cos(1.21175803) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.351374015534392 × 6371000     		do = 214.63733742271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32951825--0.32942237) × cos(1.21172434) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.351405557097993 × 6371000     		du = 214.656604633517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21175803)-sin(1.21172434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351374015534392-0.351405557097993)×R²
    abs(-0.32942237--0.32951825)×3.15415636015781e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.15415636015781e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.15415636015781e-05×40589641000000     		ar = 46071.6090723526m²