Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29330 / 22690
↖ ↑ ↗
← N 48.334343°
W 18.885498°		 ← 406.04 m → N 48.334343°
W 18.880005°		 →
↑
406.09 m
↓
↑
406.09 m
↓
N 48.330691°
W 18.885498°		 ← 406.07 m →
164 894 m²		 N 48.330691°
W 18.880005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447547912597656 y=0.346229553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447547912597656 × 216)
    floor (0.447547912597656 × 65536)
    floor (29330.5)     		tx = 29330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346229553222656 × 216)
    floor (0.346229553222656 × 65536)
    floor (22690.5)     		ty = 22690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29330 / 22690 ti = "16/29330/22690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29330/22690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29330 ÷ 216
    29330 ÷ 65536     		x = 0.447540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22690 ÷ 216
    22690 ÷ 65536     		y = 0.346221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.10491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32961412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346221923828125 × 2 - 1) × π
    0.30755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.966216148741852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32961412} λ = -0.32961412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966216148741852))-π/2
    2×atan(2.62798173052152)-π/2
    2×1.20719487848101-π/2
    2.41438975696202-1.57079632675     		φ = 0.84359343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32961412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.885498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84359343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.334343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29330 KachelY 22690 -0.32961412 0.84359343 -18.885498 48.334343
    Oben rechts KachelX + 1 29331 KachelY 22690 -0.32951825 0.84359343 -18.880005 48.334343
    Unten links KachelX 29330 KachelY + 1 22691 -0.32961412 0.84352969 -18.885498 48.330691
    Unten rechts KachelX + 1 29331 KachelY + 1 22691 -0.32951825 0.84352969 -18.880005 48.330691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84359343-0.84352969) × R
    6.37399999999788e-05 × 6371000     		dl = 406.087539999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84359343-0.84352969) × R
    6.37399999999788e-05 × 6371000     		dr = 406.087539999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32961412--0.32951825) × cos(0.84359343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664782699291359 × 6371000     		do = 406.041142434741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32961412--0.32951825) × cos(0.84352969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664830314065763 × 6371000     		du = 406.070224956618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84359343)-sin(0.84352969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664782699291359-0.664830314065763)×R²
    abs(-0.32951825--0.32961412)×4.76147744035149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76147744035149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76147744035149e-05×40589641000000     		ar = 164894.153750925m²