Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2933 / 1157
↖ ↑ ↗
← N 82.294175°
W115.554199°		 ← 327.60 m → N 82.294175°
W115.532227°		 →
↑
327.66 m
↓
↑
327.66 m
↓
N 82.291228°
W115.554199°		 ← 327.73 m →
107 363 m²		 N 82.291228°
W115.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179046630859375 y=0.070648193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179046630859375 × 214)
    floor (0.179046630859375 × 16384)
    floor (2933.5)     		tx = 2933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.070648193359375 × 214)
    floor (0.070648193359375 × 16384)
    floor (1157.5)     		ty = 1157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2933 / 1157 ti = "14/2933/1157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2933/1157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2933 ÷ 214
    2933 ÷ 16384     		x = 0.17901611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1157 ÷ 214
    1157 ÷ 16384     		y = 0.07061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.6419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01680124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07061767578125 × 2 - 1) × π
    0.8587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69788871061676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01680124} λ = -2.01680124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69788871061676))-π/2
    2×atan(14.8483494454507)-π/2
    2×1.50355032027686-π/2
    3.00710064055373-1.57079632675     		φ = 1.43630431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01680124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43630431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.294175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2933 KachelY 1157 -2.01680124 1.43630431 -115.554199 82.294175
    Oben rechts KachelX + 1 2934 KachelY 1157 -2.01641775 1.43630431 -115.532227 82.294175
    Unten links KachelX 2933 KachelY + 1 1158 -2.01680124 1.43625288 -115.554199 82.291228
    Unten rechts KachelX + 1 2934 KachelY + 1 1158 -2.01641775 1.43625288 -115.532227 82.291228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43630431-1.43625288) × R
    5.14299999998524e-05 × 6371000     		dl = 327.66052999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43630431-1.43625288) × R
    5.14299999998524e-05 × 6371000     		dr = 327.66052999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01680124--2.01641775) × cos(1.43630431) × R
    0.000383489999999931 × 0.134086932429522 × 6371000     		do = 327.60317645748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01680124--2.01641775) × cos(1.43625288) × R
    0.000383489999999931 × 0.134137897817304 × 6371000     		du = 327.727695846687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43630431)-sin(1.43625288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134086932429522-0.134137897817304)×R²
    abs(-2.01641775--2.01680124)×5.09653877822369e-05×R²
    0.000383489999999931×5.09653877822369e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.09653877822369e-05×40589641000000     		ar = 107363.030496995m²