Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29329 / 19079
↖ ↑ ↗
← N 59.869641°
W 18.890991°		 ← 306.63 m → N 59.869641°
W 18.885498°		 →
↑
306.64 m
↓
↑
306.64 m
↓
N 59.866883°
W 18.890991°		 ← 306.65 m →
94 027 m²		 N 59.866883°
W 18.885498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447532653808594 y=0.291130065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447532653808594 × 216)
    floor (0.447532653808594 × 65536)
    floor (29329.5)     		tx = 29329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291130065917969 × 216)
    floor (0.291130065917969 × 65536)
    floor (19079.5)     		ty = 19079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29329 / 19079 ti = "16/29329/19079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29329/19079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29329 ÷ 216
    29329 ÷ 65536     		x = 0.447525024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19079 ÷ 216
    19079 ÷ 65536     		y = 0.291122436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447525024414062 × 2 - 1) × π
    -0.104949951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32971000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291122436523438 × 2 - 1) × π
    0.417755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3124164377979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32971000} λ = -0.32971000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3124164377979))-π/2
    2×atan(3.71514027966711)-π/2
    2×1.30785933955894-π/2
    2.61571867911788-1.57079632675     		φ = 1.04492235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32971000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.890991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04492235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.869641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29329 KachelY 19079 -0.32971000 1.04492235 -18.890991 59.869641
    Oben rechts KachelX + 1 29330 KachelY 19079 -0.32961412 1.04492235 -18.885498 59.869641
    Unten links KachelX 29329 KachelY + 1 19080 -0.32971000 1.04487422 -18.890991 59.866883
    Unten rechts KachelX + 1 29330 KachelY + 1 19080 -0.32961412 1.04487422 -18.885498 59.866883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04492235-1.04487422) × R
    4.81299999999241e-05 × 6371000     		dl = 306.636229999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04492235-1.04487422) × R
    4.81299999999241e-05 × 6371000     		dr = 306.636229999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32971000--0.32961412) × cos(1.04492235) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.501969086200451 × 6371000     		do = 306.62855921977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32971000--0.32961412) × cos(1.04487422) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502010712561161 × 6371000     		du = 306.653986743816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04492235)-sin(1.04487422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501969086200451-0.502010712561161)×R²
    abs(-0.32961412--0.32971000)×4.16263607098122e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.16263607098122e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16263607098122e-05×40589641000000     		ar = 94027.3239274595m²