Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29328 / 43407
↖ ↑ ↗
← S 50.341955°
W 18.896484°		 ← 389.81 m → S 50.341955°
W 18.890991°		 →
↑
389.84 m
↓
↑
389.84 m
↓
S 50.345461°
W 18.896484°		 ← 389.78 m →
151 957 m²		 S 50.345461°
W 18.890991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447517395019531 y=0.662345886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447517395019531 × 216)
    floor (0.447517395019531 × 65536)
    floor (29328.5)     		tx = 29328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662345886230469 × 216)
    floor (0.662345886230469 × 65536)
    floor (43407.5)     		ty = 43407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29328 / 43407 ti = "16/29328/43407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29328/43407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29328 ÷ 216
    29328 ÷ 65536     		x = 0.447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43407 ÷ 216
    43407 ÷ 65536     		y = 0.662338256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32980587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662338256835938 × 2 - 1) × π
    -0.324676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02000135011555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32980587} λ = -0.32980587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02000135011555))-π/2
    2×atan(0.360594453328569)-π/2
    2×0.346081732029677-π/2
    0.692163464059354-1.57079632675     		φ = -0.87863286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32980587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.896484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87863286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.341955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29328 KachelY 43407 -0.32980587 -0.87863286 -18.896484 -50.341955
    Oben rechts KachelX + 1 29329 KachelY 43407 -0.32971000 -0.87863286 -18.890991 -50.341955
    Unten links KachelX 29328 KachelY + 1 43408 -0.32980587 -0.87869405 -18.896484 -50.345461
    Unten rechts KachelX + 1 29329 KachelY + 1 43408 -0.32971000 -0.87869405 -18.890991 -50.345461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87863286--0.87869405) × R
    6.11900000000443e-05 × 6371000     		dl = 389.841490000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87863286--0.87869405) × R
    6.11900000000443e-05 × 6371000     		dr = 389.841490000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32980587--0.32971000) × cos(-0.87863286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638204256380717 × 6371000     		do = 389.807354559278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32980587--0.32971000) × cos(-0.87869405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638157147019085 × 6371000     		du = 389.77858073734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87863286)-sin(-0.87869405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638204256380717-0.638157147019085)×R²
    abs(-0.32971000--0.32980587)×4.71093616323248e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71093616323248e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71093616323248e-05×40589641000000     		ar = 151957.471347075m²