Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29327 / 14963
↖ ↑ ↗
← N 69.436340°
W 18.901977°		 ← 214.54 m → N 69.436340°
W 18.896484°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
N 69.434411°
W 18.901977°		 ← 214.56 m →
46 023 m²		 N 69.434411°
W 18.896484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447502136230469 y=0.228324890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447502136230469 × 216)
    floor (0.447502136230469 × 65536)
    floor (29327.5)     		tx = 29327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228324890136719 × 216)
    floor (0.228324890136719 × 65536)
    floor (14963.5)     		ty = 14963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29327 / 14963 ti = "16/29327/14963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29327/14963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29327 ÷ 216
    29327 ÷ 65536     		x = 0.447494506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14963 ÷ 216
    14963 ÷ 65536     		y = 0.228317260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447494506835938 × 2 - 1) × π
    -0.105010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32990174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228317260742188 × 2 - 1) × π
    0.543365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7070329954702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32990174} λ = -0.32990174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7070329954702))-π/2
    2×atan(5.51258133586855)-π/2
    2×1.39134454020893-π/2
    2.78268908041786-1.57079632675     		φ = 1.21189275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32990174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.901977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21189275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.436340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29327 KachelY 14963 -0.32990174 1.21189275 -18.901977 69.436340
    Oben rechts KachelX + 1 29328 KachelY 14963 -0.32980587 1.21189275 -18.896484 69.436340
    Unten links KachelX 29327 KachelY + 1 14964 -0.32990174 1.21185908 -18.901977 69.434411
    Unten rechts KachelX + 1 29328 KachelY + 1 14964 -0.32980587 1.21185908 -18.896484 69.434411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21189275-1.21185908) × R
    3.36700000000967e-05 × 6371000     		dl = 214.511570000616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21189275-1.21185908) × R
    3.36700000000967e-05 × 6371000     		dr = 214.511570000616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32990174--0.32980587) × cos(1.21189275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351247882743492 × 6371000     		do = 214.537911018114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32990174--0.32980587) × cos(1.21185908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351279407176253 × 6371000     		du = 214.557165756101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21189275)-sin(1.21185908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351247882743492-0.351279407176253)×R²
    abs(-0.32980587--0.32990174)×3.15244327607211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15244327607211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15244327607211e-05×40589641000000     		ar = 46022.9293034419m²