Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29326 / 18818
↖ ↑ ↗
← N 60.581572°
W 18.907471°		 ← 300.04 m → N 60.581572°
W 18.901977°		 →
↑
300.07 m
↓
↑
300.07 m
↓
N 60.578873°
W 18.907471°		 ← 300.07 m →
90 038 m²		 N 60.578873°
W 18.901977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447486877441406 y=0.287147521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447486877441406 × 216)
    floor (0.447486877441406 × 65536)
    floor (29326.5)     		tx = 29326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287147521972656 × 216)
    floor (0.287147521972656 × 65536)
    floor (18818.5)     		ty = 18818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29326 / 18818 ti = "16/29326/18818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29326/18818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29326 ÷ 216
    29326 ÷ 65536     		x = 0.447479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18818 ÷ 216
    18818 ÷ 65536     		y = 0.287139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.10504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32999762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287139892578125 × 2 - 1) × π
    0.42572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33743949939957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32999762} λ = -0.32999762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33743949939957))-π/2
    2×atan(3.809277350636)-π/2
    2×1.31407210761012-π/2
    2.62814421522024-1.57079632675     		φ = 1.05734789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32999762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.907471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05734789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.581572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29326 KachelY 18818 -0.32999762 1.05734789 -18.907471 60.581572
    Oben rechts KachelX + 1 29327 KachelY 18818 -0.32990174 1.05734789 -18.901977 60.581572
    Unten links KachelX 29326 KachelY + 1 18819 -0.32999762 1.05730079 -18.907471 60.578873
    Unten rechts KachelX + 1 29327 KachelY + 1 18819 -0.32990174 1.05730079 -18.901977 60.578873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05734789-1.05730079) × R
    4.70999999999666e-05 × 6371000     		dl = 300.074099999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05734789-1.05730079) × R
    4.70999999999666e-05 × 6371000     		dr = 300.074099999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32999762--0.32990174) × cos(1.05734789) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.491183942560935 × 6371000     		do = 300.040438265559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32999762--0.32990174) × cos(1.05730079) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.491224968747733 × 6371000     		du = 300.065499172483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05734789)-sin(1.05730079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491183942560935-0.491224968747733)×R²
    abs(-0.32990174--0.32999762)×4.10261867978545e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.10261867978545e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.10261867978545e-05×40589641000000     		ar = 90038.1245572097m²