Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29325 / 19588
↖ ↑ ↗
← N 58.436233°
W 18.912964°		 ← 319.72 m → N 58.436233°
W 18.907471°		 →
↑
319.76 m
↓
↑
319.76 m
↓
N 58.433357°
W 18.912964°		 ← 319.74 m →
102 236 m²		 N 58.433357°
W 18.907471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447471618652344 y=0.298896789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447471618652344 × 216)
    floor (0.447471618652344 × 65536)
    floor (29325.5)     		tx = 29325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298896789550781 × 216)
    floor (0.298896789550781 × 65536)
    floor (19588.5)     		ty = 19588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29325 / 19588 ti = "16/29325/19588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29325/19588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29325 ÷ 216
    29325 ÷ 65536     		x = 0.447463989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19588 ÷ 216
    19588 ÷ 65536     		y = 0.29888916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447463989257812 × 2 - 1) × π
    -0.105072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33009349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29888916015625 × 2 - 1) × π
    0.4022216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26361667398468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33009349} λ = -0.33009349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26361667398468))-π/2
    2×atan(3.53819487220475)-π/2
    2×1.29535049892261-π/2
    2.59070099784522-1.57079632675     		φ = 1.01990467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33009349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.912964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01990467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.436233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29325 KachelY 19588 -0.33009349 1.01990467 -18.912964 58.436233
    Oben rechts KachelX + 1 29326 KachelY 19588 -0.32999762 1.01990467 -18.907471 58.436233
    Unten links KachelX 29325 KachelY + 1 19589 -0.33009349 1.01985448 -18.912964 58.433357
    Unten rechts KachelX + 1 29326 KachelY + 1 19589 -0.32999762 1.01985448 -18.907471 58.433357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01990467-1.01985448) × R
    5.0190000000061e-05 × 6371000     		dl = 319.760490000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01990467-1.01985448) × R
    5.0190000000061e-05 × 6371000     		dr = 319.760490000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33009349--0.32999762) × cos(1.01990467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523447180331134 × 6371000     		do = 319.715135987234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33009349--0.32999762) × cos(1.01985448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523489944469149 × 6371000     		du = 319.741255799728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01990467)-sin(1.01985448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523447180331134-0.523489944469149)×R²
    abs(-0.32999762--0.33009349)×4.27641380148502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27641380148502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27641380148502e-05×40589641000000     		ar = 102236.444607265m²