Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29325 / 19096
↖ ↑ ↗
← N 59.822732°
W 18.912964°		 ← 307.03 m → N 59.822732°
W 18.907471°		 →
↑
307.08 m
↓
↑
307.08 m
↓
N 59.819970°
W 18.912964°		 ← 307.05 m →
94 287 m²		 N 59.819970°
W 18.907471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447471618652344 y=0.291389465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447471618652344 × 216)
    floor (0.447471618652344 × 65536)
    floor (29325.5)     		tx = 29325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291389465332031 × 216)
    floor (0.291389465332031 × 65536)
    floor (19096.5)     		ty = 19096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29325 / 19096 ti = "16/29325/19096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29325/19096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29325 ÷ 216
    29325 ÷ 65536     		x = 0.447463989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19096 ÷ 216
    19096 ÷ 65536     		y = 0.2913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447463989257812 × 2 - 1) × π
    -0.105072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33009349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2913818359375 × 2 - 1) × π
    0.417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31078658321082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33009349} λ = -0.33009349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31078658321082))-π/2
    2×atan(3.70909007305846)-π/2
    2×1.30744998284285-π/2
    2.61489996568571-1.57079632675     		φ = 1.04410364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33009349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.912964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04410364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.822732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29325 KachelY 19096 -0.33009349 1.04410364 -18.912964 59.822732
    Oben rechts KachelX + 1 29326 KachelY 19096 -0.32999762 1.04410364 -18.907471 59.822732
    Unten links KachelX 29325 KachelY + 1 19097 -0.33009349 1.04405544 -18.912964 59.819970
    Unten rechts KachelX + 1 29326 KachelY + 1 19097 -0.32999762 1.04405544 -18.907471 59.819970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04410364-1.04405544) × R
    4.82000000001648e-05 × 6371000     		dl = 307.08220000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04410364-1.04405544) × R
    4.82000000001648e-05 × 6371000     		dr = 307.08220000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33009349--0.32999762) × cos(1.04410364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502677008348921 × 6371000     		do = 307.028968959702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33009349--0.32999762) × cos(1.04405544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502718675426522 × 6371000     		du = 307.054418701113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04410364)-sin(1.04405544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502677008348921-0.502718675426522)×R²
    abs(-0.32999762--0.33009349)×4.16670776007821e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16670776007821e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16670776007821e-05×40589641000000     		ar = 94287.0388516198m²