Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29324 / 43411
↖ ↑ ↗
← S 50.355975°
W 18.918457°		 ← 389.69 m → S 50.355975°
W 18.912964°		 →
↑
389.71 m
↓
↑
389.71 m
↓
S 50.359480°
W 18.918457°		 ← 389.66 m →
151 863 m²		 S 50.359480°
W 18.912964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447456359863281 y=0.662406921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447456359863281 × 216)
    floor (0.447456359863281 × 65536)
    floor (29324.5)     		tx = 29324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662406921386719 × 216)
    floor (0.662406921386719 × 65536)
    floor (43411.5)     		ty = 43411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29324 / 43411 ti = "16/29324/43411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29324/43411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29324 ÷ 216
    29324 ÷ 65536     		x = 0.44744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43411 ÷ 216
    43411 ÷ 65536     		y = 0.662399291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33018936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662399291992188 × 2 - 1) × π
    -0.324798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02038484531252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33018936} λ = -0.33018936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02038484531252))-π/2
    2×atan(0.360456193600332)-π/2
    2×0.345959375960913-π/2
    0.691918751921827-1.57079632675     		φ = -0.87887757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33018936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.918457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87887757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.355975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29324 KachelY 43411 -0.33018936 -0.87887757 -18.918457 -50.355975
    Oben rechts KachelX + 1 29325 KachelY 43411 -0.33009349 -0.87887757 -18.912964 -50.355975
    Unten links KachelX 29324 KachelY + 1 43412 -0.33018936 -0.87893874 -18.918457 -50.359480
    Unten rechts KachelX + 1 29325 KachelY + 1 43412 -0.33009349 -0.87893874 -18.912964 -50.359480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87887757--0.87893874) × R
    6.11700000000548e-05 × 6371000     		dl = 389.714070000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87887757--0.87893874) × R
    6.11700000000548e-05 × 6371000     		dr = 389.714070000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33018936--0.33009349) × cos(-0.87887757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638015843099666 × 6371000     		do = 389.692274031506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33018936--0.33009349) × cos(-0.87893874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637968739584697 × 6371000     		du = 389.663503780639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87887757)-sin(-0.87893874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638015843099666-0.637968739584697)×R²
    abs(-0.33009349--0.33018936)×4.71035149696153e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71035149696153e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71035149696153e-05×40589641000000     		ar = 151862.956122089m²