Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29324 / 19096
N 59.822732°
W 18.918457°
← 307.03 m → N 59.822732°
W 18.912964°

307.08 m

307.08 m
N 59.819970°
W 18.918457°
← 307.05 m →
94 287 m²
N 59.819970°
W 18.912964°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447456359863281 y=0.291389465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447456359863281 × 216)
    floor (0.447456359863281 × 65536)
    floor (29324.5)
    tx = 29324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291389465332031 × 216)
    floor (0.291389465332031 × 65536)
    floor (19096.5)
    ty = 19096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29324 / 19096 ti = "16/29324/19096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29324/19096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29324 ÷ 216
    29324 ÷ 65536
    x = 0.44744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19096 ÷ 216
    19096 ÷ 65536
    y = 0.2913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.44744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1051025390625 × 3.1415926535
    Λ = -0.33018936
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.2913818359375 × 2 - 1) × π
    0.417236328125 × 3.1415926535
    Φ = 1.31078658321082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33018936} λ = -0.33018936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31078658321082))-π/2
    2×atan(3.70909007305846)-π/2
    2×1.30744998284285-π/2
    2.61489996568571-1.57079632675
    φ = 1.04410364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33018936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.918457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04410364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.822732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29324 KachelY 19096 -0.33018936 1.04410364 -18.918457 59.822732
    Oben rechts KachelX + 1 29325 KachelY 19096 -0.33009349 1.04410364 -18.912964 59.822732
    Unten links KachelX 29324 KachelY + 1 19097 -0.33018936 1.04405544 -18.918457 59.819970
    Unten rechts KachelX + 1 29325 KachelY + 1 19097 -0.33009349 1.04405544 -18.912964 59.819970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.04410364-1.04405544) × R
    4.82000000001648e-05 × 6371000
    dl = 307.08220000105m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.04410364-1.04405544) × R
    4.82000000001648e-05 × 6371000
    dr = 307.08220000105m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33018936--0.33009349) × cos(1.04410364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502677008348921 × 6371000
    do = 307.028968959702m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33018936--0.33009349) × cos(1.04405544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502718675426522 × 6371000
    du = 307.054418701113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.04410364)-sin(1.04405544))×
    abs(λ12)×abs(0.502677008348921-0.502718675426522)×
    abs(-0.33009349--0.33018936)×4.16670776007821e-05×
    9.58699999999979e-05×4.16670776007821e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16670776007821e-05×40589641000000
    ar = 94287.0388516198m²