Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29322 / 19098
↖ ↑ ↗
← N 59.817209°
W 18.929443°		 ← 307.08 m → N 59.817209°
W 18.923950°		 →
↑
307.08 m
↓
↑
307.08 m
↓
N 59.814447°
W 18.929443°		 ← 307.11 m →
94 303 m²		 N 59.814447°
W 18.923950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447425842285156 y=0.291419982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447425842285156 × 216)
    floor (0.447425842285156 × 65536)
    floor (29322.5)     		tx = 29322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291419982910156 × 216)
    floor (0.291419982910156 × 65536)
    floor (19098.5)     		ty = 19098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29322 / 19098 ti = "16/29322/19098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29322/19098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29322 ÷ 216
    29322 ÷ 65536     		x = 0.447418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19098 ÷ 216
    19098 ÷ 65536     		y = 0.291412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.10516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33038111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291412353515625 × 2 - 1) × π
    0.41717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31059483561234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33038111} λ = -0.33038111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31059483561234))-π/2
    2×atan(3.70837893212637)-π/2
    2×1.30740178529373-π/2
    2.61480357058746-1.57079632675     		φ = 1.04400724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33038111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.929443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04400724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.817209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29322 KachelY 19098 -0.33038111 1.04400724 -18.929443 59.817209
    Oben rechts KachelX + 1 29323 KachelY 19098 -0.33028524 1.04400724 -18.923950 59.817209
    Unten links KachelX 29322 KachelY + 1 19099 -0.33038111 1.04395904 -18.929443 59.814447
    Unten rechts KachelX + 1 29323 KachelY + 1 19099 -0.33028524 1.04395904 -18.923950 59.814447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04400724-1.04395904) × R
    4.81999999999427e-05 × 6371000     		dl = 307.082199999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04400724-1.04395904) × R
    4.81999999999427e-05 × 6371000     		dr = 307.082199999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33038111--0.33028524) × cos(1.04400724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502760341336187 × 6371000     		do = 307.079867729162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33038111--0.33028524) × cos(1.04395904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502802006077818 × 6371000     		du = 307.10531604379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04400724)-sin(1.04395904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502760341336187-0.502802006077818)×R²
    abs(-0.33028524--0.33038111)×4.16647416315863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16647416315863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16647416315863e-05×40589641000000     		ar = 94302.668738357m²