Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29320 / 19592
↖ ↑ ↗
← N 58.424730°
W 18.940430°		 ← 319.82 m → N 58.424730°
W 18.934937°		 →
↑
319.82 m
↓
↑
319.82 m
↓
N 58.421854°
W 18.940430°		 ← 319.85 m →
102 290 m²		 N 58.421854°
W 18.934937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447395324707031 y=0.298957824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447395324707031 × 216)
    floor (0.447395324707031 × 65536)
    floor (29320.5)     		tx = 29320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298957824707031 × 216)
    floor (0.298957824707031 × 65536)
    floor (19592.5)     		ty = 19592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29320 / 19592 ti = "16/29320/19592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29320/19592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29320 ÷ 216
    29320 ÷ 65536     		x = 0.4473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19592 ÷ 216
    19592 ÷ 65536     		y = 0.2989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33057286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2989501953125 × 2 - 1) × π
    0.402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26323317878772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33057286} λ = -0.33057286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26323317878772))-π/2
    2×atan(3.53683825161072)-π/2
    2×1.29525011278349-π/2
    2.59050022556698-1.57079632675     		φ = 1.01970390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33057286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01970390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.424730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29320 KachelY 19592 -0.33057286 1.01970390 -18.940430 58.424730
    Oben rechts KachelX + 1 29321 KachelY 19592 -0.33047699 1.01970390 -18.934937 58.424730
    Unten links KachelX 29320 KachelY + 1 19593 -0.33057286 1.01965370 -18.940430 58.421854
    Unten rechts KachelX + 1 29321 KachelY + 1 19593 -0.33047699 1.01965370 -18.934937 58.421854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01970390-1.01965370) × R
    5.02000000000002e-05 × 6371000     		dl = 319.824200000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01970390-1.01965370) × R
    5.02000000000002e-05 × 6371000     		dr = 319.824200000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33057286--0.33047699) × cos(1.01970390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523618237490152 × 6371000     		do = 319.819615607933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33057286--0.33047699) × cos(1.01965370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523661004871765 × 6371000     		du = 319.845737401577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01970390)-sin(1.01965370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523618237490152-0.523661004871765)×R²
    abs(-0.33047699--0.33057286)×4.2767381612685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2767381612685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2767381612685e-05×40589641000000     		ar = 102290.229918235m²