Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29319 / 19097
↖ ↑ ↗
← N 59.819970°
W 18.945923°		 ← 307.05 m → N 59.819970°
W 18.940430°		 →
↑
307.08 m
↓
↑
307.08 m
↓
N 59.817209°
W 18.945923°		 ← 307.08 m →
94 295 m²		 N 59.817209°
W 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447380065917969 y=0.291404724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447380065917969 × 216)
    floor (0.447380065917969 × 65536)
    floor (29319.5)     		tx = 29319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291404724121094 × 216)
    floor (0.291404724121094 × 65536)
    floor (19097.5)     		ty = 19097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29319 / 19097 ti = "16/29319/19097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29319/19097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29319 ÷ 216
    29319 ÷ 65536     		x = 0.447372436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19097 ÷ 216
    19097 ÷ 65536     		y = 0.291397094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447372436523438 × 2 - 1) × π
    -0.105255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33066873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291397094726562 × 2 - 1) × π
    0.417205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31069070941158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33066873} λ = -0.33066873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31069070941158))-π/2
    2×atan(3.70873448554747)-π/2
    2×1.30742588506692-π/2
    2.61485177013385-1.57079632675     		φ = 1.04405544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33066873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.945923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04405544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.819970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29319 KachelY 19097 -0.33066873 1.04405544 -18.945923 59.819970
    Oben rechts KachelX + 1 29320 KachelY 19097 -0.33057286 1.04405544 -18.940430 59.819970
    Unten links KachelX 29319 KachelY + 1 19098 -0.33066873 1.04400724 -18.945923 59.817209
    Unten rechts KachelX + 1 29320 KachelY + 1 19098 -0.33057286 1.04400724 -18.940430 59.817209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04405544-1.04400724) × R
    4.81999999999427e-05 × 6371000     		dl = 307.082199999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04405544-1.04400724) × R
    4.81999999999427e-05 × 6371000     		dr = 307.082199999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33066873--0.33057286) × cos(1.04405544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502718675426522 × 6371000     		do = 307.054418701113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33066873--0.33057286) × cos(1.04400724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502760341336187 × 6371000     		du = 307.079867729162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04405544)-sin(1.04400724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502718675426522-0.502760341336187)×R²
    abs(-0.33057286--0.33066873)×4.16659096644789e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16659096644789e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16659096644789e-05×40589641000000     		ar = 94294.8539045066m²