Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29318 / 18814
↖ ↑ ↗
← N 60.592362°
W 18.951416°		 ← 299.94 m → N 60.592362°
W 18.945923°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
N 60.589665°
W 18.951416°		 ← 299.97 m →
89 951 m²		 N 60.589665°
W 18.945923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447364807128906 y=0.287086486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447364807128906 × 216)
    floor (0.447364807128906 × 65536)
    floor (29318.5)     		tx = 29318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287086486816406 × 216)
    floor (0.287086486816406 × 65536)
    floor (18814.5)     		ty = 18814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29318 / 18814 ti = "16/29318/18814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29318/18814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29318 ÷ 216
    29318 ÷ 65536     		x = 0.447357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18814 ÷ 216
    18814 ÷ 65536     		y = 0.287078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.10528564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33076461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287078857421875 × 2 - 1) × π
    0.42584228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33782299459653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33076461} λ = -0.33076461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33782299459653))-π/2
    2×atan(3.81073847035215)-π/2
    2×1.3141662752222-π/2
    2.62833255044441-1.57079632675     		φ = 1.05753622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33076461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.951416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05753622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.592362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29318 KachelY 18814 -0.33076461 1.05753622 -18.951416 60.592362
    Oben rechts KachelX + 1 29319 KachelY 18814 -0.33066873 1.05753622 -18.945923 60.592362
    Unten links KachelX 29318 KachelY + 1 18815 -0.33076461 1.05748915 -18.951416 60.589665
    Unten rechts KachelX + 1 29319 KachelY + 1 18815 -0.33066873 1.05748915 -18.945923 60.589665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05753622-1.05748915) × R
    4.70699999999269e-05 × 6371000     		dl = 299.882969999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05753622-1.05748915) × R
    4.70699999999269e-05 × 6371000     		dr = 299.882969999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33076461--0.33066873) × cos(1.05753622) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.491019887898566 × 6371000     		do = 299.94022523225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33076461--0.33066873) × cos(1.05748915) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.491060892308031 × 6371000     		du = 299.965272836458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05753622)-sin(1.05748915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491019887898566-0.491060892308031)×R²
    abs(-0.33066873--0.33076461)×4.10044094650286e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.10044094650286e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.10044094650286e-05×40589641000000     		ar = 89950.7212567411m²