Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29316 / 18813
↖ ↑ ↗
← N 60.595060°
W 18.962402°		 ← 299.88 m → N 60.595060°
W 18.956909°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
N 60.592362°
W 18.962402°		 ← 299.91 m →
89 953 m²		 N 60.592362°
W 18.956909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447334289550781 y=0.287071228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447334289550781 × 216)
    floor (0.447334289550781 × 65536)
    floor (29316.5)     		tx = 29316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287071228027344 × 216)
    floor (0.287071228027344 × 65536)
    floor (18813.5)     		ty = 18813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29316 / 18813 ti = "16/29316/18813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29316/18813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29316 ÷ 216
    29316 ÷ 65536     		x = 0.44732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18813 ÷ 216
    18813 ÷ 65536     		y = 0.287063598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287063598632812 × 2 - 1) × π
    0.425872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33791886839577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33095635} λ = -0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33791886839577))-π/2
    2×atan(3.81110383784151)-π/2
    2×1.3141898122102-π/2
    2.6283796244204-1.57079632675     		φ = 1.05758330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05758330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.595060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29316 KachelY 18813 -0.33095635 1.05758330 -18.962402 60.595060
    Oben rechts KachelX + 1 29317 KachelY 18813 -0.33086048 1.05758330 -18.956909 60.595060
    Unten links KachelX 29316 KachelY + 1 18814 -0.33095635 1.05753622 -18.962402 60.592362
    Unten rechts KachelX + 1 29317 KachelY + 1 18814 -0.33086048 1.05753622 -18.956909 60.592362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05758330-1.05753622) × R
    4.70799999998661e-05 × 6371000     		dl = 299.946679999147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05758330-1.05753622) × R
    4.70799999998661e-05 × 6371000     		dr = 299.946679999147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33095635--0.33086048) × cos(1.05758330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.49097887368949 × 6371000     		do = 299.883891377909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33095635--0.33086048) × cos(1.05753622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.491019887898566 × 6371000     		du = 299.908942355209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05758330)-sin(1.05753622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49097887368949-0.491019887898566)×R²
    abs(-0.33086048--0.33095635)×4.10142090759291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.10142090759291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.10142090759291e-05×40589641000000     		ar = 89952.9345991972m²