Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29315 / 19590
↖ ↑ ↗
← N 58.430482°
W 18.967896°		 ← 319.80 m → N 58.430482°
W 18.962402°		 →
↑
319.76 m
↓
↑
319.76 m
↓
N 58.427606°
W 18.967896°		 ← 319.83 m →
102 264 m²		 N 58.427606°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447319030761719 y=0.298927307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447319030761719 × 216)
    floor (0.447319030761719 × 65536)
    floor (29315.5)     		tx = 29315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298927307128906 × 216)
    floor (0.298927307128906 × 65536)
    floor (19590.5)     		ty = 19590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29315 / 19590 ti = "16/29315/19590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29315/19590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29315 ÷ 216
    29315 ÷ 65536     		x = 0.447311401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19590 ÷ 216
    19590 ÷ 65536     		y = 0.298919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447311401367188 × 2 - 1) × π
    -0.105377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33105223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298919677734375 × 2 - 1) × π
    0.40216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2634249263862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33105223} λ = -0.33105223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2634249263862))-π/2
    2×atan(3.53751649687555)-π/2
    2×1.29530030995307-π/2
    2.59060061990614-1.57079632675     		φ = 1.01980429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33105223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.967896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01980429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.430482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29315 KachelY 19590 -0.33105223 1.01980429 -18.967896 58.430482
    Oben rechts KachelX + 1 29316 KachelY 19590 -0.33095635 1.01980429 -18.962402 58.430482
    Unten links KachelX 29315 KachelY + 1 19591 -0.33105223 1.01975410 -18.967896 58.427606
    Unten rechts KachelX + 1 29316 KachelY + 1 19591 -0.33095635 1.01975410 -18.962402 58.427606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01980429-1.01975410) × R
    5.0189999999839e-05 × 6371000     		dl = 319.760489998974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01980429-1.01975410) × R
    5.0189999999839e-05 × 6371000     		dr = 319.760489998974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33105223--0.33095635) × cos(1.01980429) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.523532707288474 × 6371000     		do = 319.800729075546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33105223--0.33095635) × cos(1.01975410) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.523575468789001 × 6371000     		du = 319.82685000143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01980429)-sin(1.01975410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523532707288474-0.523575468789001)×R²
    abs(-0.33095635--0.33105223)×4.27615005268445e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.27615005268445e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.27615005268445e-05×40589641000000     		ar = 102263.8140726m²