Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29314 / 15491
↖ ↑ ↗
← N 68.393113°
W 18.973389°		 ← 224.91 m → N 68.393113°
W 18.967896°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
N 68.391089°
W 18.973389°		 ← 224.93 m →
50 599 m²		 N 68.391089°
W 18.967896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447303771972656 y=0.236381530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447303771972656 × 216)
    floor (0.447303771972656 × 65536)
    floor (29314.5)     		tx = 29314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236381530761719 × 216)
    floor (0.236381530761719 × 65536)
    floor (15491.5)     		ty = 15491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29314 / 15491 ti = "16/29314/15491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29314/15491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29314 ÷ 216
    29314 ÷ 65536     		x = 0.447296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15491 ÷ 216
    15491 ÷ 65536     		y = 0.236373901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33114810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236373901367188 × 2 - 1) × π
    0.527252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65641162947142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33114810} λ = -0.33114810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65641162947142))-π/2
    2×atan(5.24047230845011)-π/2
    2×1.38224066285775-π/2
    2.7644813257155-1.57079632675     		φ = 1.19368500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33114810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19368500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.393113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29314 KachelY 15491 -0.33114810 1.19368500 -18.973389 68.393113
    Oben rechts KachelX + 1 29315 KachelY 15491 -0.33105223 1.19368500 -18.967896 68.393113
    Unten links KachelX 29314 KachelY + 1 15492 -0.33114810 1.19364969 -18.973389 68.391089
    Unten rechts KachelX + 1 29315 KachelY + 1 15492 -0.33105223 1.19364969 -18.967896 68.391089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19368500-1.19364969) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19368500-1.19364969) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33114810--0.33105223) × cos(1.19368500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368236316935067 × 6371000     		do = 224.914238853778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33114810--0.33105223) × cos(1.19364969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368269145550456 × 6371000     		du = 224.934290170563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19368500)-sin(1.19364969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368236316935067-0.368269145550456)×R²
    abs(-0.33105223--0.33114810)×3.28286153892243e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28286153892243e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28286153892243e-05×40589641000000     		ar = 50598.9647993438m²