Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29313 / 19593
↖ ↑ ↗
← N 58.421854°
W 18.978882°		 ← 319.88 m → N 58.421854°
W 18.973389°		 →
↑
319.89 m
↓
↑
319.89 m
↓
N 58.418977°
W 18.978882°		 ← 319.91 m →
102 330 m²		 N 58.418977°
W 18.973389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447288513183594 y=0.298973083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447288513183594 × 216)
    floor (0.447288513183594 × 65536)
    floor (29313.5)     		tx = 29313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298973083496094 × 216)
    floor (0.298973083496094 × 65536)
    floor (19593.5)     		ty = 19593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29313 / 19593 ti = "16/29313/19593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29313/19593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29313 ÷ 216
    29313 ÷ 65536     		x = 0.447280883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19593 ÷ 216
    19593 ÷ 65536     		y = 0.298965454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447280883789062 × 2 - 1) × π
    -0.105438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33124398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298965454101562 × 2 - 1) × π
    0.402069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26313730498848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33124398} λ = -0.33124398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26313730498848))-π/2
    2×atan(3.53649917774465)-π/2
    2×1.29522501112342-π/2
    2.59045002224685-1.57079632675     		φ = 1.01965370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33124398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.978882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01965370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.421854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29313 KachelY 19593 -0.33124398 1.01965370 -18.978882 58.421854
    Oben rechts KachelX + 1 29314 KachelY 19593 -0.33114810 1.01965370 -18.973389 58.421854
    Unten links KachelX 29313 KachelY + 1 19594 -0.33124398 1.01960349 -18.978882 58.418977
    Unten rechts KachelX + 1 29314 KachelY + 1 19594 -0.33114810 1.01960349 -18.973389 58.418977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01965370-1.01960349) × R
    5.02100000001615e-05 × 6371000     		dl = 319.887910001029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01965370-1.01960349) × R
    5.02100000001615e-05 × 6371000     		dr = 319.887910001029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33124398--0.33114810) × cos(1.01965370) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.523661004871765 × 6371000     		do = 319.87909984418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33124398--0.33114810) × cos(1.01960349) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.523703779452735 × 6371000     		du = 319.905228760272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01965370)-sin(1.01960349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523661004871765-0.523703779452735)×R²
    abs(-0.33114810--0.33124398)×4.27745809705726e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.27745809705726e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.27745809705726e-05×40589641000000     		ar = 102329.635885945m²