Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29313 / 19585
↖ ↑ ↗
← N 58.444858°
W 18.978882°		 ← 319.67 m → N 58.444858°
W 18.973389°		 →
↑
319.70 m
↓
↑
319.70 m
↓
N 58.441983°
W 18.978882°		 ← 319.70 m →
102 202 m²		 N 58.441983°
W 18.973389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447288513183594 y=0.298851013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447288513183594 × 216)
    floor (0.447288513183594 × 65536)
    floor (29313.5)     		tx = 29313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298851013183594 × 216)
    floor (0.298851013183594 × 65536)
    floor (19585.5)     		ty = 19585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29313 / 19585 ti = "16/29313/19585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29313/19585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29313 ÷ 216
    29313 ÷ 65536     		x = 0.447280883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19585 ÷ 216
    19585 ÷ 65536     		y = 0.298843383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447280883789062 × 2 - 1) × π
    -0.105438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33124398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298843383789062 × 2 - 1) × π
    0.402313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2639042953824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33124398} λ = -0.33124398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2639042953824))-π/2
    2×atan(3.53921267912381)-π/2
    2×1.29542576700366-π/2
    2.59085153400732-1.57079632675     		φ = 1.02005521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33124398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.978882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02005521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.444858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29313 KachelY 19585 -0.33124398 1.02005521 -18.978882 58.444858
    Oben rechts KachelX + 1 29314 KachelY 19585 -0.33114810 1.02005521 -18.973389 58.444858
    Unten links KachelX 29313 KachelY + 1 19586 -0.33124398 1.02000503 -18.978882 58.441983
    Unten rechts KachelX + 1 29314 KachelY + 1 19586 -0.33114810 1.02000503 -18.973389 58.441983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02005521-1.02000503) × R
    5.01799999998997e-05 × 6371000     		dl = 319.696779999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02005521-1.02000503) × R
    5.01799999998997e-05 × 6371000     		dr = 319.696779999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33124398--0.33114810) × cos(1.02005521) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.523318905570134 × 6371000     		do = 319.670127979472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33124398--0.33114810) × cos(1.02000503) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.523361665141678 × 6371000     		du = 319.696247727034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02005521)-sin(1.02000503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523318905570134-0.523361665141678)×R²
    abs(-0.33114810--0.33124398)×4.27595715439821e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.27595715439821e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.27595715439821e-05×40589641000000     		ar = 102201.685798093m²