Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29313 / 18817
↖ ↑ ↗
← N 60.584270°
W 18.978882°		 ← 300.02 m → N 60.584270°
W 18.973389°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
N 60.581572°
W 18.978882°		 ← 300.04 m →
90 011 m²		 N 60.581572°
W 18.973389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447288513183594 y=0.287132263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447288513183594 × 216)
    floor (0.447288513183594 × 65536)
    floor (29313.5)     		tx = 29313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287132263183594 × 216)
    floor (0.287132263183594 × 65536)
    floor (18817.5)     		ty = 18817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29313 / 18817 ti = "16/29313/18817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29313/18817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29313 ÷ 216
    29313 ÷ 65536     		x = 0.447280883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18817 ÷ 216
    18817 ÷ 65536     		y = 0.287124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447280883789062 × 2 - 1) × π
    -0.105438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33124398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287124633789062 × 2 - 1) × π
    0.425750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33753537319881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33124398} λ = -0.33124398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33753537319881))-π/2
    2×atan(3.80964257803555)-π/2
    2×1.31409565246238-π/2
    2.62819130492476-1.57079632675     		φ = 1.05739498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33124398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.978882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05739498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.584270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29313 KachelY 18817 -0.33124398 1.05739498 -18.978882 60.584270
    Oben rechts KachelX + 1 29314 KachelY 18817 -0.33114810 1.05739498 -18.973389 60.584270
    Unten links KachelX 29313 KachelY + 1 18818 -0.33124398 1.05734789 -18.978882 60.581572
    Unten rechts KachelX + 1 29314 KachelY + 1 18818 -0.33114810 1.05734789 -18.973389 60.581572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05739498-1.05734789) × R
    4.70900000000274e-05 × 6371000     		dl = 300.010390000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05739498-1.05734789) × R
    4.70900000000274e-05 × 6371000     		dr = 300.010390000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33124398--0.33114810) × cos(1.05739498) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.491142923995279 × 6371000     		do = 300.015382014021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33124398--0.33114810) × cos(1.05734789) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.491183942560935 × 6371000     		du = 300.040438265559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05739498)-sin(1.05734789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491142923995279-0.491183942560935)×R²
    abs(-0.33114810--0.33124398)×4.10185656552486e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.10185656552486e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.10185656552486e-05×40589641000000     		ar = 90011.4903486401m²