Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29312 / 15487
↖ ↑ ↗
← N 68.401202°
W 18.984375°		 ← 224.83 m → N 68.401202°
W 18.978882°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
N 68.399180°
W 18.984375°		 ← 224.85 m →
50 552 m²		 N 68.399180°
W 18.978882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447273254394531 y=0.236320495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447273254394531 × 216)
    floor (0.447273254394531 × 65536)
    floor (29312.5)     		tx = 29312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236320495605469 × 216)
    floor (0.236320495605469 × 65536)
    floor (15487.5)     		ty = 15487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29312 / 15487 ti = "16/29312/15487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29312/15487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29312 ÷ 216
    29312 ÷ 65536     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15487 ÷ 216
    15487 ÷ 65536     		y = 0.236312866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236312866210938 × 2 - 1) × π
    0.527374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65679512466838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65679512466838))-π/2
    2×atan(5.24248238981384)-π/2
    2×1.38231125870101-π/2
    2.76462251740201-1.57079632675     		φ = 1.19382619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19382619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.401202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29312 KachelY 15487 -0.33133985 1.19382619 -18.984375 68.401202
    Oben rechts KachelX + 1 29313 KachelY 15487 -0.33124398 1.19382619 -18.978882 68.401202
    Unten links KachelX 29312 KachelY + 1 15488 -0.33133985 1.19379090 -18.984375 68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 29313 KachelY + 1 15488 -0.33124398 1.19379090 -18.978882 68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19382619-1.19379090) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19382619-1.19379090) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.33124398) × cos(1.19382619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368105044371974 × 6371000     		do = 224.834059177704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.33124398) × cos(1.19379090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 224.854100257774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19382619)-sin(1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368105044371974-0.368137856227506)×R²
    abs(-0.33124398--0.33133985)×3.2811855531778e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2811855531778e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2811855531778e-05×40589641000000     		ar = 50552.2767942469m²