Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29311 / 42879
↖ ↑ ↗
← S 48.454709°
W 18.989868°		 ← 405.08 m → S 48.454709°
W 18.984375°		 →
↑
405.07 m
↓
↑
405.07 m
↓
S 48.458352°
W 18.989868°		 ← 405.05 m →
164 080 m²		 S 48.458352°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447257995605469 y=0.654289245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447257995605469 × 216)
    floor (0.447257995605469 × 65536)
    floor (29311.5)     		tx = 29311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654289245605469 × 216)
    floor (0.654289245605469 × 65536)
    floor (42879.5)     		ty = 42879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29311 / 42879 ti = "16/29311/42879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29311/42879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29311 ÷ 216
    29311 ÷ 65536     		x = 0.447250366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42879 ÷ 216
    42879 ÷ 65536     		y = 0.654281616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447250366210938 × 2 - 1) × π
    -0.105499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33143572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654281616210938 × 2 - 1) × π
    -0.308563232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.969379984116776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33143572} λ = -0.33143572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969379984116776))-π/2
    2×atan(0.379318148486638)-π/2
    2×0.362551059364591-π/2
    0.725102118729181-1.57079632675     		φ = -0.84569421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33143572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.989868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84569421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.454709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29311 KachelY 42879 -0.33143572 -0.84569421 -18.989868 -48.454709
    Oben rechts KachelX + 1 29312 KachelY 42879 -0.33133985 -0.84569421 -18.984375 -48.454709
    Unten links KachelX 29311 KachelY + 1 42880 -0.33143572 -0.84575779 -18.989868 -48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 29312 KachelY + 1 42880 -0.33133985 -0.84575779 -18.984375 -48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84569421--0.84575779) × R
    6.3579999999952e-05 × 6371000     		dl = 405.068179999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84569421--0.84575779) × R
    6.3579999999952e-05 × 6371000     		dr = 405.068179999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33143572--0.33133985) × cos(-0.84569421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663211873567635 × 6371000     		do = 405.081701293889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33143572--0.33133985) × cos(-0.84575779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 405.052635963495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84569421)-sin(-0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663211873567635-0.663164286939641)×R²
    abs(-0.33133985--0.33143572)×4.75866279938675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75866279938675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75866279938675e-05×40589641000000     		ar = 164079.820829413m²