Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29311 / 15486
↖ ↑ ↗
← N 68.403224°
W 18.989868°		 ← 224.81 m → N 68.403224°
W 18.984375°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
N 68.401202°
W 18.989868°		 ← 224.83 m →
50 548 m²		 N 68.401202°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447257995605469 y=0.236305236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447257995605469 × 216)
    floor (0.447257995605469 × 65536)
    floor (29311.5)     		tx = 29311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236305236816406 × 216)
    floor (0.236305236816406 × 65536)
    floor (15486.5)     		ty = 15486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29311 / 15486 ti = "16/29311/15486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29311/15486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29311 ÷ 216
    29311 ÷ 65536     		x = 0.447250366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15486 ÷ 216
    15486 ÷ 65536     		y = 0.236297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447250366210938 × 2 - 1) × π
    -0.105499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33143572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236297607421875 × 2 - 1) × π
    0.52740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65689099846762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33143572} λ = -0.33143572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65689099846762))-π/2
    2×atan(5.24298503061266)-π/2
    2×1.38232890372907-π/2
    2.76465780745814-1.57079632675     		φ = 1.19386148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33143572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.989868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19386148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.403224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29311 KachelY 15486 -0.33143572 1.19386148 -18.989868 68.403224
    Oben rechts KachelX + 1 29312 KachelY 15486 -0.33133985 1.19386148 -18.984375 68.403224
    Unten links KachelX 29311 KachelY + 1 15487 -0.33143572 1.19382619 -18.989868 68.401202
    Unten rechts KachelX + 1 29312 KachelY + 1 15487 -0.33133985 1.19382619 -18.984375 68.401202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19386148-1.19382619) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19386148-1.19382619) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33143572--0.33133985) × cos(1.19386148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368072232058011 × 6371000     		do = 224.81401781763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33143572--0.33133985) × cos(1.19382619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368105044371974 × 6371000     		du = 224.834059177704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19386148)-sin(1.19382619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368072232058011-0.368105044371974)×R²
    abs(-0.33133985--0.33143572)×3.28123139639036e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28123139639036e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28123139639036e-05×40589641000000     		ar = 50547.7708750606m²