Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29309 / 41118
↖ ↑ ↗
← S 41.631867°
W 19.000854°		 ← 456.52 m → S 41.631867°
W 18.995361°		 →
↑
456.55 m
↓
↑
456.55 m
↓
S 41.635973°
W 19.000854°		 ← 456.49 m →
208 416 m²		 S 41.635973°
W 18.995361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447227478027344 y=0.627418518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447227478027344 × 216)
    floor (0.447227478027344 × 65536)
    floor (29309.5)     		tx = 29309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627418518066406 × 216)
    floor (0.627418518066406 × 65536)
    floor (41118.5)     		ty = 41118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29309 / 41118 ti = "16/29309/41118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29309/41118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29309 ÷ 216
    29309 ÷ 65536     		x = 0.447219848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41118 ÷ 216
    41118 ÷ 65536     		y = 0.627410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447219848632812 × 2 - 1) × π
    -0.105560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33162747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.25482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.800546223654938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33162747} λ = -0.33162747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800546223654938))-π/2
    2×atan(0.449083597026927)-π/2
    2×0.422091583370801-π/2
    0.844183166741601-1.57079632675     		φ = -0.72661316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33162747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.000854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72661316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.631867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29309 KachelY 41118 -0.33162747 -0.72661316 -19.000854 -41.631867
    Oben rechts KachelX + 1 29310 KachelY 41118 -0.33153160 -0.72661316 -18.995361 -41.631867
    Unten links KachelX 29309 KachelY + 1 41119 -0.33162747 -0.72668482 -19.000854 -41.635973
    Unten rechts KachelX + 1 29310 KachelY + 1 41119 -0.33153160 -0.72668482 -18.995361 -41.635973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72661316--0.72668482) × R
    7.16600000000289e-05 × 6371000     		dl = 456.545860000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72661316--0.72668482) × R
    7.16600000000289e-05 × 6371000     		dr = 456.545860000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33162747--0.33153160) × cos(-0.72661316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747428704955174 × 6371000     		do = 456.520311933549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33162747--0.33153160) × cos(-0.72668482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747381096286361 × 6371000     		du = 456.491233140892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72661316)-sin(-0.72668482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747428704955174-0.747381096286361)×R²
    abs(-0.33153160--0.33162747)×4.76086688124822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76086688124822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76086688124822e-05×40589641000000     		ar = 208415.820607274m²