Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29308 / 43106
↖ ↑ ↗
← S 49.274973°
W 19.006348°		 ← 398.54 m → S 49.274973°
W 19.000854°		 →
↑
398.44 m
↓
↑
398.44 m
↓
S 49.278556°
W 19.006348°		 ← 398.51 m →
158 788 m²		 S 49.278556°
W 19.000854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447212219238281 y=0.657752990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447212219238281 × 216)
    floor (0.447212219238281 × 65536)
    floor (29308.5)     		tx = 29308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657752990722656 × 216)
    floor (0.657752990722656 × 65536)
    floor (43106.5)     		ty = 43106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29308 / 43106 ti = "16/29308/43106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29308/43106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29308 ÷ 216
    29308 ÷ 65536     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43106 ÷ 216
    43106 ÷ 65536     		y = 0.657745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.31549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.991143336544281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991143336544281))-π/2
    2×atan(0.371152096585618)-π/2
    2×0.355392905648171-π/2
    0.710785811296343-1.57079632675     		φ = -0.86001052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86001052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.274973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29308 KachelY 43106 -0.33172335 -0.86001052 -19.006348 -49.274973
    Oben rechts KachelX + 1 29309 KachelY 43106 -0.33162747 -0.86001052 -19.000854 -49.274973
    Unten links KachelX 29308 KachelY + 1 43107 -0.33172335 -0.86007306 -19.006348 -49.278556
    Unten rechts KachelX + 1 29309 KachelY + 1 43107 -0.33162747 -0.86007306 -19.000854 -49.278556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86001052--0.86007306) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dl = 398.442339999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86001052--0.86007306) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dr = 398.442339999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(-0.86001052) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652429495624188 × 6371000     		do = 398.537522997658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(-0.86007306) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		du = 398.508570360712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86001052)-sin(-0.86007306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652429495624188-0.652382098445178)×R²
    abs(-0.33162747--0.33172335)×4.73971790100336e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73971790100336e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73971790100336e-05×40589641000000     		ar = 158788.455314277m²