Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29308 / 19126
↖ ↑ ↗
← N 59.739790°
W 19.006348°		 ← 307.83 m → N 59.739790°
W 19.000854°		 →
↑
307.78 m
↓
↑
307.78 m
↓
N 59.737022°
W 19.006348°		 ← 307.85 m →
94 747 m²		 N 59.737022°
W 19.000854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447212219238281 y=0.291847229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447212219238281 × 216)
    floor (0.447212219238281 × 65536)
    floor (29308.5)     		tx = 29308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291847229003906 × 216)
    floor (0.291847229003906 × 65536)
    floor (19126.5)     		ty = 19126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29308 / 19126 ti = "16/29308/19126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29308/19126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29308 ÷ 216
    29308 ÷ 65536     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19126 ÷ 216
    19126 ÷ 65536     		y = 0.291839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291839599609375 × 2 - 1) × π
    0.41632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30791036923361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30791036923361))-π/2
    2×atan(3.69843726357127)-π/2
    2×1.30672618031194-π/2
    2.61345236062387-1.57079632675     		φ = 1.04265603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04265603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.739790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29308 KachelY 19126 -0.33172335 1.04265603 -19.006348 59.739790
    Oben rechts KachelX + 1 29309 KachelY 19126 -0.33162747 1.04265603 -19.000854 59.739790
    Unten links KachelX 29308 KachelY + 1 19127 -0.33172335 1.04260772 -19.006348 59.737022
    Unten rechts KachelX + 1 29309 KachelY + 1 19127 -0.33162747 1.04260772 -19.000854 59.737022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04265603-1.04260772) × R
    4.83100000001624e-05 × 6371000     		dl = 307.783010001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04265603-1.04260772) × R
    4.83100000001624e-05 × 6371000     		dr = 307.783010001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(1.04265603) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.503927902863052 × 6371000     		do = 307.825105277168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(1.04260772) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.503969629830718 × 6371000     		du = 307.850594257123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04265603)-sin(1.04260772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503927902863052-0.503969629830718)×R²
    abs(-0.33162747--0.33172335)×4.17269676665777e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.17269676665777e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.17269676665777e-05×40589641000000     		ar = 94747.2600121163m²