Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29307 / 42886
↖ ↑ ↗
← S 48.480204°
W 19.011841°		 ← 404.88 m → S 48.480204°
W 19.006348°		 →
↑
404.88 m
↓
↑
404.88 m
↓
S 48.483846°
W 19.011841°		 ← 404.85 m →
163 920 m²		 S 48.483846°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447196960449219 y=0.654396057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447196960449219 × 216)
    floor (0.447196960449219 × 65536)
    floor (29307.5)     		tx = 29307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654396057128906 × 216)
    floor (0.654396057128906 × 65536)
    floor (42886.5)     		ty = 42886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29307 / 42886 ti = "16/29307/42886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29307/42886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29307 ÷ 216
    29307 ÷ 65536     		x = 0.447189331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42886 ÷ 216
    42886 ÷ 65536     		y = 0.654388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447189331054688 × 2 - 1) × π
    -0.105621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33181922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.30877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.970051100711456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33181922} λ = -0.33181922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970051100711456))-π/2
    2×atan(0.379063667185389)-π/2
    2×0.362328569005835-π/2
    0.72465713801167-1.57079632675     		φ = -0.84613919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33181922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.011841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84613919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.480204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29307 KachelY 42886 -0.33181922 -0.84613919 -19.011841 -48.480204
    Oben rechts KachelX + 1 29308 KachelY 42886 -0.33172335 -0.84613919 -19.006348 -48.480204
    Unten links KachelX 29307 KachelY + 1 42887 -0.33181922 -0.84620274 -19.011841 -48.483846
    Unten rechts KachelX + 1 29308 KachelY + 1 42887 -0.33172335 -0.84620274 -19.006348 -48.483846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84613919--0.84620274) × R
    6.35499999999123e-05 × 6371000     		dl = 404.877049999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84613919--0.84620274) × R
    6.35499999999123e-05 × 6371000     		dr = 404.877049999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33181922--0.33172335) × cos(-0.84613919) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.662878770780042 × 6371000     		do = 404.878246185309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33181922--0.33172335) × cos(-0.84620274) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.662831187857023 × 6371000     		du = 404.849183117868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84613919)-sin(-0.84620274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662878770780042-0.662831187857023)×R²
    abs(-0.33172335--0.33181922)×4.7582923018985e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.7582923018985e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.7582923018985e-05×40589641000000     		ar = 163920.026495062m²