Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29304 / 43109
↖ ↑ ↗
← S 49.285724°
W 19.028320°		 ← 398.41 m → S 49.285724°
W 19.022827°		 →
↑
398.38 m
↓
↑
398.38 m
↓
S 49.289306°
W 19.028320°		 ← 398.38 m →
158 712 m²		 S 49.289306°
W 19.022827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447151184082031 y=0.657798767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447151184082031 × 216)
    floor (0.447151184082031 × 65536)
    floor (29304.5)     		tx = 29304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657798767089844 × 216)
    floor (0.657798767089844 × 65536)
    floor (43109.5)     		ty = 43109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29304 / 43109 ti = "16/29304/43109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29304/43109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29304 ÷ 216
    29304 ÷ 65536     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43109 ÷ 216
    43109 ÷ 65536     		y = 0.657791137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657791137695312 × 2 - 1) × π
    -0.315582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.991430957942001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991430957942001))-π/2
    2×atan(0.371045360651336)-π/2
    2×0.355299089531604-π/2
    0.710598179063207-1.57079632675     		φ = -0.86019815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86019815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.285724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29304 KachelY 43109 -0.33210684 -0.86019815 -19.028320 -49.285724
    Oben rechts KachelX + 1 29305 KachelY 43109 -0.33201097 -0.86019815 -19.022827 -49.285724
    Unten links KachelX 29304 KachelY + 1 43110 -0.33210684 -0.86026068 -19.028320 -49.289306
    Unten rechts KachelX + 1 29305 KachelY + 1 43110 -0.33201097 -0.86026068 -19.022827 -49.289306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86019815--0.86026068) × R
    6.25300000000051e-05 × 6371000     		dl = 398.378630000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86019815--0.86026068) × R
    6.25300000000051e-05 × 6371000     		dr = 398.378630000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33201097) × cos(-0.86019815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652287288852733 × 6371000     		do = 398.409098557698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33201097) × cos(-0.86026068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652239891599106 × 6371000     		du = 398.380148894851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86019815)-sin(-0.86026068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652287288852733-0.652239891599106)×R²
    abs(-0.33201097--0.33210684)×4.73972536272349e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73972536272349e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73972536272349e-05×40589641000000     		ar = 158711.904451363m²