Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29300 / 19085
↖ ↑ ↗
← N 59.853092°
W 19.050293°		 ← 306.78 m → N 59.853092°
W 19.044800°		 →
↑
306.83 m
↓
↑
306.83 m
↓
N 59.850333°
W 19.050293°		 ← 306.81 m →
94 133 m²		 N 59.850333°
W 19.044800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447090148925781 y=0.291221618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447090148925781 × 216)
    floor (0.447090148925781 × 65536)
    floor (29300.5)     		tx = 29300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291221618652344 × 216)
    floor (0.291221618652344 × 65536)
    floor (19085.5)     		ty = 19085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29300 / 19085 ti = "16/29300/19085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29300/19085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29300 ÷ 216
    29300 ÷ 65536     		x = 0.44708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19085 ÷ 216
    19085 ÷ 65536     		y = 0.291213989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33249034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291213989257812 × 2 - 1) × π
    0.417572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31184119500246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33249034} λ = -0.33249034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31184119500246))-π/2
    2×atan(3.71300378654723)-π/2
    2×1.3077149265902-π/2
    2.61542985318041-1.57079632675     		φ = 1.04463353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33249034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.050293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04463353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.853092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29300 KachelY 19085 -0.33249034 1.04463353 -19.050293 59.853092
    Oben rechts KachelX + 1 29301 KachelY 19085 -0.33239446 1.04463353 -19.044800 59.853092
    Unten links KachelX 29300 KachelY + 1 19086 -0.33249034 1.04458537 -19.050293 59.850333
    Unten rechts KachelX + 1 29301 KachelY + 1 19086 -0.33239446 1.04458537 -19.044800 59.850333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04463353-1.04458537) × R
    4.81599999999638e-05 × 6371000     		dl = 306.827359999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04463353-1.04458537) × R
    4.81599999999638e-05 × 6371000     		dr = 306.827359999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33249034--0.33239446) × cos(1.04463353) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502218861508811 × 6371000     		do = 306.781134836548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33249034--0.33239446) × cos(1.04458537) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502260506831161 × 6371000     		du = 306.806573943341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04463353)-sin(1.04458537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502218861508811-0.502260506831161)×R²
    abs(-0.33239446--0.33249034)×4.16453223500701e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.16453223500701e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16453223500701e-05×40589641000000     		ar = 94132.7484251055m²