Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 293 / 93
↖ ↑ ↗
← N 83.420215°
W128.496094°		 ← 2 239.71 m → N 83.420215°
W128.320312°		 →
↑
2 243.10 m
↓
↑
2 243.10 m
↓
N 83.400042°
W128.496094°		 ← 2 246.54 m →
5 031 560 m²		 N 83.400042°
W128.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143310546875 y=0.045654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143310546875 × 211)
    floor (0.143310546875 × 2048)
    floor (293.5)     		tx = 293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.045654296875 × 211)
    floor (0.045654296875 × 2048)
    floor (93.5)     		ty = 93
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 293 / 93 ti = "11/293/93"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/293/93.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 293 ÷ 211
    293 ÷ 2048     		x = 0.14306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93 ÷ 211
    93 ÷ 2048     		y = 0.04541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14306640625 × 2 - 1) × π
    -0.7138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24267991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.04541015625 × 2 - 1) × π
    0.9091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.85627222696143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24267991} λ = -2.24267991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.85627222696143))-π/2
    2×atan(17.3965555018732)-π/2
    2×1.51337687038206-π/2
    3.02675374076413-1.57079632675     		φ = 1.45595741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24267991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45595741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.420215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 293 KachelY 93 -2.24267991 1.45595741 -128.496094 83.420215
    Oben rechts KachelX + 1 294 KachelY 93 -2.23961195 1.45595741 -128.320312 83.420215
    Unten links KachelX 293 KachelY + 1 94 -2.24267991 1.45560533 -128.496094 83.400042
    Unten rechts KachelX + 1 294 KachelY + 1 94 -2.23961195 1.45560533 -128.320312 83.400042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45595741-1.45560533) × R
    0.000352079999999866 × 6371000     		dl = 2243.10167999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45595741-1.45560533) × R
    0.000352079999999866 × 6371000     		dr = 2243.10167999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24267991--2.23961195) × cos(1.45595741) × R
    0.00306796000000009 × 0.114586667689854 × 6371000     		do = 2239.70793115978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24267991--2.23961195) × cos(1.45560533) × R
    0.00306796000000009 × 0.114936421519415 × 6371000     		du = 2246.54421012499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45595741)-sin(1.45560533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.114586667689854-0.114936421519415)×R²
    abs(-2.23961195--2.24267991)×0.000349753829560887×R²
    0.00306796000000009×0.000349753829560887×6371000²
    0.00306796000000009×0.000349753829560887×40589641000000     		ar = 5031559.90948576m²