Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 293 / 168
↖ ↑ ↗
← N 81.723188°
W128.496094°		 ← 2 813.75 m → N 81.723188°
W128.320312°		 →
↑
2 818.02 m
↓
↑
2 818.02 m
↓
N 81.697845°
W128.496094°		 ← 2 822.31 m →
7 941 274 m²		 N 81.697845°
W128.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143310546875 y=0.082275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143310546875 × 211)
    floor (0.143310546875 × 2048)
    floor (293.5)     		tx = 293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082275390625 × 211)
    floor (0.082275390625 × 2048)
    floor (168.5)     		ty = 168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 293 / 168 ti = "11/293/168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/293/168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 293 ÷ 211
    293 ÷ 2048     		x = 0.14306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 168 ÷ 211
    168 ÷ 2048     		y = 0.08203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14306640625 × 2 - 1) × π
    -0.7138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24267991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08203125 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62617510878516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24267991} λ = -2.24267991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62617510878516))-π/2
    2×atan(13.8208055974377)-π/2
    2×1.49856751297347-π/2
    2.99713502594695-1.57079632675     		φ = 1.42633870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24267991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42633870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.723188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 293 KachelY 168 -2.24267991 1.42633870 -128.496094 81.723188
    Oben rechts KachelX + 1 294 KachelY 168 -2.23961195 1.42633870 -128.320312 81.723188
    Unten links KachelX 293 KachelY + 1 169 -2.24267991 1.42589638 -128.496094 81.697845
    Unten rechts KachelX + 1 294 KachelY + 1 169 -2.23961195 1.42589638 -128.320312 81.697845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42633870-1.42589638) × R
    0.000442320000000107 × 6371000     		dl = 2818.02072000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42633870-1.42589638) × R
    0.000442320000000107 × 6371000     		dr = 2818.02072000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24267991--2.23961195) × cos(1.42633870) × R
    0.00306796000000009 × 0.143955726994628 × 6371000     		do = 2813.75477606537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24267991--2.23961195) × cos(1.42589638) × R
    0.00306796000000009 × 0.144393425750109 × 6371000     		du = 2822.31002419217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42633870)-sin(1.42589638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143955726994628-0.144393425750109)×R²
    abs(-2.23961195--2.24267991)×0.000437698755481275×R²
    0.00306796000000009×0.000437698755481275×6371000²
    0.00306796000000009×0.000437698755481275×40589641000000     		ar = 7941273.82266594m²