Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29299 / 43406
↖ ↑ ↗
← S 50.338449°
W 19.055786°		 ← 389.84 m → S 50.338449°
W 19.050293°		 →
↑
389.84 m
↓
↑
389.84 m
↓
S 50.341955°
W 19.055786°		 ← 389.81 m →
151 969 m²		 S 50.341955°
W 19.050293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447074890136719 y=0.662330627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447074890136719 × 216)
    floor (0.447074890136719 × 65536)
    floor (29299.5)     		tx = 29299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662330627441406 × 216)
    floor (0.662330627441406 × 65536)
    floor (43406.5)     		ty = 43406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29299 / 43406 ti = "16/29299/43406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29299/43406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29299 ÷ 216
    29299 ÷ 65536     		x = 0.447067260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43406 ÷ 216
    43406 ÷ 65536     		y = 0.662322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447067260742188 × 2 - 1) × π
    -0.105865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33258621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.32464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01990547631631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33258621} λ = -0.33258621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01990547631631))-π/2
    2×atan(0.360629026546101)-π/2
    2×0.346112326692016-π/2
    0.692224653384031-1.57079632675     		φ = -0.87857167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33258621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.055786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87857167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.338449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29299 KachelY 43406 -0.33258621 -0.87857167 -19.055786 -50.338449
    Oben rechts KachelX + 1 29300 KachelY 43406 -0.33249034 -0.87857167 -19.050293 -50.338449
    Unten links KachelX 29299 KachelY + 1 43407 -0.33258621 -0.87863286 -19.055786 -50.341955
    Unten rechts KachelX + 1 29300 KachelY + 1 43407 -0.33249034 -0.87863286 -19.050293 -50.341955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87857167--0.87863286) × R
    6.11899999999332e-05 × 6371000     		dl = 389.841489999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87857167--0.87863286) × R
    6.11899999999332e-05 × 6371000     		dr = 389.841489999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33258621--0.33249034) × cos(-0.87857167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638251363352774 × 6371000     		do = 389.836126921692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33258621--0.33249034) × cos(-0.87863286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638204256380717 × 6371000     		du = 389.807354559278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87857167)-sin(-0.87863286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638251363352774-0.638204256380717)×R²
    abs(-0.33249034--0.33258621)×4.71069720575645e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71069720575645e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71069720575645e-05×40589641000000     		ar = 151968.68829187m²